(1) 2次方程式 $4x^2 - 11x + 6 = 0$ の解を求めます。 (2) 2次方程式 $2x^2 - 4x - 9 = 0$ の解を求めます。 (3) 2次方程式 $x^2 - 8x - 2a = 0$ が実数解を持つときの、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

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4. 2次方程式

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $4x^2 - 11x + 6 = 0$ の解を求めます。

(2) 2次方程式 $2x^2 - 4x - 9 = 0$ の解を求めます。

(3) 2次方程式 $x^2 - 8x - 2a = 0$ が実数解を持つときの、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $4x^2 - 11x + 6 = 0$ を因数分解します。

$(4x - 3)(x - 2) = 0$

よって、$x = \frac{3}{4}$ または $x = 2$ です。

(2) $2x^2 - 4x - 9 = 0$ を解の公式を使って解きます。解の公式は、$ax^2 + bx + c = 0$ に対して、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

この問題では、$a = 2$, $b = -4$, $c = -9$ なので、

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(2)(-9)}}{2(2)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 72}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{88}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{22}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{22}}{2}$

よって、$x = \frac{2 + \sqrt{22}}{2}$ または $x = \frac{2 - \sqrt{22}}{2}$ です。

(3) $x^2 - 8x - 2a = 0$ が実数解を持つための条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ が $D \ge 0$ であることです。この問題では、$a = 1$, $b = -8$, $c = -2a$ なので、

$D = (-8)^2 - 4(1)(-2a) = 64 + 8a$

$D \ge 0$ より、$64 + 8a \ge 0$。

$8a \ge -64$

$a \ge -8$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{4}, 2$

(2) $\frac{2 + \sqrt{22}}{2}, \frac{2 - \sqrt{22}}{2}$

(3) $a \ge -8$

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5. 2次関数のグラフとx軸の共有点

1. 問題の内容

(1) 2次関数 $y = x^2 - 3ax + 2a^2 + a - 1$ のグラフが $x$ 軸に接するときの、定数 $a$ の値と、接点の $x$ 座標を求めます。

(2) 2次関数 $y = -x^2 + 6x + 1$ のグラフが、$x$ 軸から切り取る線分の長さを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数 $y = x^2 - 3ax + 2a^2 + a - 1$ のグラフが $x$ 軸に接するとき、判別式 $D = b^2 - 4ac = 0$ となります。

$D = (-3a)^2 - 4(1)(2a^2 + a - 1) = 9a^2 - 8a^2 - 4a + 4 = a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$

$(a - 2)^2 = 0$ より、$a = 2$ です。

$a = 2$ のとき、$y = x^2 - 6x + 8 + 2 - 1 = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ となるので、接点の $x$ 座標は $x = 3$ です。

(2) $y = -x^2 + 6x + 1$ が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標を求めます。$y = 0$ とおくと、

$-x^2 + 6x + 1 = 0$

$x^2 - 6x - 1 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 3 \pm \sqrt{10}$

$x_1 = 3 + \sqrt{10}$、$x_2 = 3 - \sqrt{10}$ とすると、線分の長さは $|x_1 - x_2| = |(3 + \sqrt{10}) - (3 - \sqrt{10})| = |2\sqrt{10}| = 2\sqrt{10}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$, 接点の $x$ 座標は $3$

(2) $2\sqrt{10}$