複素数 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ が与えられたとき、以下の等式を確かめる問題です。 (1) $\bar{z} = r\{\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)\}$ (2) $|\bar{z}| = |z|$, $\arg \bar{z} = -\arg z$

1. 問題の内容

複素数 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ が与えられたとき、以下の等式を確かめる問題です。

(1) $\bar{z} = r\{\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)\}$

(2) $|\bar{z}| = |z|$, $\arg \bar{z} = -\arg z$

2. 解き方の手順

(1) 複素数 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ の共役複素数 $\bar{z}$ は、虚部の符号を反転させたものです。つまり、

$\bar{z} = r(\cos\theta - i\sin\theta)$

ここで、$\cos(-\theta) = \cos\theta$ かつ $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ であることを利用すると、

$\bar{z} = r\{\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)\}$

したがって、与えられた等式は正しいことがわかります。

(2) 複素数 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ の絶対値 $|z|$ は $r$ です。

$|z| = \sqrt{(r\cos\theta)^2 + (r\sin\theta)^2} = \sqrt{r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)} = \sqrt{r^2} = r$

また、$\bar{z} = r(\cos\theta - i\sin\theta) = r(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$ の絶対値 $|\bar{z}|$ は $r$ です。

$|\bar{z}| = \sqrt{(r\cos\theta)^2 + (-r\sin\theta)^2} = \sqrt{r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)} = \sqrt{r^2} = r$

したがって、$|\bar{z}| = |z|$ が成り立ちます。

次に、偏角について考えます。

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ の偏角は $\arg z = \theta$ です。

$\bar{z} = r(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$ の偏角は $\arg \bar{z} = -\theta$ です。

したがって、$\arg \bar{z} = -\arg z$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $\bar{z} = r\{\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)\}$ は正しい。

(2) $|\bar{z}| = |z|$, $\arg \bar{z} = -\arg z$ は正しい。