複素数 $z$ が純虚数であるための必要十分条件が $\bar{z} = -z$ であることを証明する。

## 問4

1. 問題の内容

複素数 $z$ が純虚数であるための必要十分条件が $\bar{z} = -z$ であることを証明する。

2. 解き方の手順

$z = a + bi$ (ただし、$a, b$ は実数) とする。

(i) $z$ が純虚数であるとき、$\bar{z} = -z$ を示す。

$z$ が純虚数であるとき、$a = 0$ なので $z = bi$ となる。

このとき、$\bar{z} = -bi$ であり、$-z = -bi$ であるから、$\bar{z} = -z$ が成り立つ。

(ii) $\bar{z} = -z$ であるとき、$z$ が純虚数であることを示す。

$\bar{z} = a - bi$ であり、$-z = -a - bi$ である。

$\bar{z} = -z$ より、$a - bi = -a - bi$ が成り立つ。

したがって、$a = -a$ であるから、$2a = 0$ となり、$a = 0$ となる。

よって、$z = bi$ となり、$z$ は純虚数である。

(i), (ii) より、$z$ が純虚数であることと、$\bar{z} = -z$ であることは同値である。

3. 最終的な答え

証明終わり。

## 問5

1. 問題の内容

複素数 $z$ について、$|z|^2 = z\bar{z}$ を証明する。

2. 解き方の手順

$z = a + bi$ (ただし、$a, b$ は実数) とする。

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ であるから、$|z|^2 = a^2 + b^2$ となる。

また、$\bar{z} = a - bi$ であるから、$z\bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2i^2 = a^2 + b^2$ となる。

したがって、$|z|^2 = a^2 + b^2 = z\bar{z}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

証明終わり。

## 問1 (1)

1. 問題の内容

複素数 $3-3i$ の極形式を求める。ただし、偏角 $\theta$ は範囲 $-\pi < \theta \leq \pi$ 内にあるとする。

2. 解き方の手順

$z = 3-3i$ とする。

まず、絶対値 $r$ を求める。

$r = |z| = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

次に、偏角 $\theta$ を求める。

$\cos\theta = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin\theta = \frac{-3}{3\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\theta = -\frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$3\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$

## 問1 (2)

1. 問題の内容

複素数 $4i$ の極形式を求める。ただし、偏角 $\theta$ は範囲 $-\pi < \theta \leq \pi$ 内にあるとする。

2. 解き方の手順

$z = 4i$ とする。

まず、絶対値 $r$ を求める。

$r = |z| = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4$

次に、偏角 $\theta$ を求める。

$\cos\theta = \frac{0}{4} = 0$

$\sin\theta = \frac{4}{4} = 1$

$\theta = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$4(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$

## 問1 (3)

1. 問題の内容

複素数 $-1+\sqrt{3}i$ の極形式を求める。ただし、偏角 $\theta$ は範囲 $-\pi < \theta \leq \pi$ 内にあるとする。

2. 解き方の手順

$z = -1+\sqrt{3}i$ とする。

まず、絶対値 $r$ を求める。

$r = |z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

次に、偏角 $\theta$ を求める。

$\cos\theta = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$

$\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\theta = \frac{2\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$2(\cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3}))$

## 問1 (4)

1. 問題の内容

複素数 $-\sqrt{6}-\sqrt{2}i$ の極形式を求める。ただし、偏角 $\theta$ は範囲 $-\pi < \theta \leq \pi$ 内にあるとする。

2. 解き方の手順

$z = -\sqrt{6}-\sqrt{2}i$ とする。

まず、絶対値 $r$ を求める。

$r = |z| = \sqrt{(-\sqrt{6})^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{6 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

次に、偏角 $\theta$ を求める。

$\cos\theta = \frac{-\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\theta = \frac{-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{2}$

$\theta = -\frac{5\pi}{6}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2}(\cos(-\frac{5\pi}{6}) + i\sin(-\frac{5\pi}{6}))$