(1) $0 \le x \le \frac{1}{2}$ のとき、$1+x \le \frac{1}{1-x} \le 1+2x$ が成り立つことを示す。 (2) (1)の不等式を用いて、$\frac{5}{8} < \log_e 2 < \frac{3}{4}$ であることを示す。

1. 問題の内容

(1) $0 \le x \le \frac{1}{2}$ のとき、$1+x \le \frac{1}{1-x} \le 1+2x$ が成り立つことを示す。

(2) (1)の不等式を用いて、$\frac{5}{8} < \log_e 2 < \frac{3}{4}$ であることを示す。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$1+x \le \frac{1}{1-x}$ を示す。

$0 \le x \le \frac{1}{2}$ より、$1-x > 0$ なので、$1-x$ を両辺にかけると

$(1+x)(1-x) \le 1$

$1 - x^2 \le 1$

$-x^2 \le 0$

$x^2 \ge 0$

これは常に成り立つ。

次に、$\frac{1}{1-x} \le 1+2x$ を示す。

$0 \le x \le \frac{1}{2}$ より、$1-x > 0$ なので、$1-x$ を両辺にかけると

$1 \le (1+2x)(1-x)$

$1 \le 1 + 2x - x - 2x^2$

$0 \le x - 2x^2$

$0 \le x(1-2x)$

$0 \le x(1-2x)$

$0 \le x$ であり、$1-2x \ge 0$ より成り立つ。

したがって、$1+x \le \frac{1}{1-x} \le 1+2x$ が成り立つ。

(2)

$\log_e 2 = \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx$ である。

$x = 1+t$ とおくと、積分範囲は$0 \le t \le 1$ となり、

$\log_e 2 = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+t} dt$ である。

ここで、(1)の不等式において、$0 \le x \le \frac{1}{2}$ であることを利用するために、$t$ を適当な値に固定して考えるのではなく、$t$ の積分範囲を限定的に考えることにする。

$x = \frac{1}{4}$ とおくと、$0 \le \frac{1}{4} \le \frac{1}{2}$ を満たすので、(1)の不等式より、

$1+\frac{1}{4} \le \frac{1}{1-\frac{1}{4}} \le 1+2(\frac{1}{4})$

$\frac{5}{4} \le \frac{4}{3} \le \frac{3}{2}$

この不等式は正しい。

(1)の不等式より、$1+x \le \frac{1}{1-x} \le 1+2x$ であり、$-x$ を $x$ に置き換えると、$1-x \le \frac{1}{1+x} \le 1-2x$ となる。

$1-2x \le \frac{1}{1+x} \le 1-x$

$\int_{0}^{1/2} (1-2x) dx \le \int_{0}^{1/2} \frac{1}{1+x} dx \le \int_{0}^{1/2} (1-x) dx$

$\int_{0}^{1/2} (1-2x) dx = [x-x^2]_0^{1/2} = \frac{1}{2} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

$\int_{0}^{1/2} (1-x) dx = [x-\frac{x^2}{2}]_0^{1/2} = \frac{1}{2} - \frac{(\frac{1}{2})^2}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

$\int_{0}^{1/2} \frac{1}{1+x} dx = [\log_e(1+x)]_0^{1/2} = \log_e(\frac{3}{2}) - \log_e 1 = \log_e \frac{3}{2}$

したがって、$\frac{1}{4} \le \log_e \frac{3}{2} \le \frac{3}{8}$

$x=\frac{1}{8}$とすると、$0 \le \frac{1}{8} \le \frac{1}{2}$なので、

$1+x \le \frac{1}{1-x} \le 1+2x$

$1 + \frac{1}{8} \le \frac{1}{1-\frac{1}{8}} \le 1+\frac{2}{8}$

$\frac{9}{8} \le \frac{8}{7} \le \frac{5}{4}$

$\frac{5}{8} < \log 2 < \frac{3}{4}$を示す問題なので、(1)を利用することを考えると、$x$に適当な値を代入して$e^x$を求める。

$e^{5/8} < 2 < e^{3/4}$を示すことと同値。

$x = 1/8$とすると$1+x \le \frac{1}{1-x} \le 1+2x$, $\frac{9}{8} \le \frac{8}{7} \le \frac{5}{4}$

$x = 1/16$とすると$1+x \le \frac{1}{1-x} \le 1+2x$, $\frac{17}{16} \le \frac{16}{15} \le \frac{9}{8}$

$x = 0.2$ とすると、$1.2 \le \frac{1}{0.8} = 1.25 \le 1.4$なので、成立する。$\log 2$に近い値になるように、$x$の値を選ぶ必要がありそう。

$e^{1/2} \approx 1.64, e^{1/4} \approx 1.28, e^{1/8} \approx 1.13$

3. 最終的な答え

(1) $1+x \le \frac{1}{1-x} \le 1+2x$ が成り立つことを示した。

(2) (1)の不等式を用いて、$\frac{5}{8} < \log_e 2 < \frac{3}{4}$ であることを示すことができなかった。