領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \le 4, x \ge 0, y \ge 0\}$ 上で、二重積分 $\iint_D \sqrt{x^2 + y^2} \, dx \, dy$ を計算します。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \le 4, x \ge 0, y \ge 0\}$ 上で、二重積分 $\iint_D \sqrt{x^2 + y^2} \, dx \, dy$ を計算します。

2. 解き方の手順

この問題を解くために、極座標変換を行います。

$x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ とすると、$x^2 + y^2 = r^2$ となり、$\sqrt{x^2 + y^2} = r$ となります。

また、$dx \, dy = r \, dr \, d\theta$ となります。

領域 $D$ は、$x \ge 0$ かつ $y \ge 0$ であることから、第1象限にあります。

$x^2 + y^2 \le 4$ は、原点を中心とする半径2の円の内部を表します。

したがって、極座標での積分範囲は、$0 \le r \le 2$ および $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ となります。

二重積分は次のようになります。

$\iint_D \sqrt{x^2 + y^2} \, dx \, dy = \int_0^{\pi/2} \int_0^2 r \cdot r \, dr \, d\theta = \int_0^{\pi/2} \int_0^2 r^2 \, dr \, d\theta$

まず、$r$ に関する積分を行います。

$\int_0^2 r^2 \, dr = \left[ \frac{1}{3} r^3 \right]_0^2 = \frac{1}{3} (2^3 - 0^3) = \frac{8}{3}$

次に、$\theta$ に関する積分を行います。

$\int_0^{\pi/2} \frac{8}{3} \, d\theta = \frac{8}{3} \int_0^{\pi/2} d\theta = \frac{8}{3} \left[ \theta \right]_0^{\pi/2} = \frac{8}{3} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{8}{3} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4\pi}{3}$