2つの放物線 $C_1: y = x^2 + 2x + 4$ と $C_2: y = x^2 - 2x + 2$ がある。 (1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線 $l$ の方程式を求める。 (2) $C_1$ と $C_2$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求める。

1. 問題の内容

2つの放物線 $C_1: y = x^2 + 2x + 4$ と $C_2: y = x^2 - 2x + 2$ がある。

(1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線 $l$ の方程式を求める。

(2) $C_1$ と $C_2$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の方程式を $y = ax + b$ とおく。

$C_1$ と $l$ が接するための条件は、$x^2 + 2x + 4 = ax + b$ が重解を持つことである。つまり、$x^2 + (2-a)x + (4-b) = 0$ の判別式が0となる。

判別式を $D_1$ とすると、$D_1 = (2-a)^2 - 4(4-b) = 0$。

$a^2 - 4a + 4 - 16 + 4b = 0$

$a^2 - 4a + 4b - 12 = 0$　…①

$C_2$ と $l$ が接するための条件は、$x^2 - 2x + 2 = ax + b$ が重解を持つことである。つまり、$x^2 - (2+a)x + (2-b) = 0$ の判別式が0となる。

判別式を $D_2$ とすると、$D_2 = (2+a)^2 - 4(2-b) = 0$。

$a^2 + 4a + 4 - 8 + 4b = 0$

$a^2 + 4a + 4b - 4 = 0$　…②

② - ①より、$8a + 8 = 0$ となり、$a = -1$。

これを②に代入すると、$1 - 4 + 4b - 4 = 0$ より、$4b = 7$、$b = \frac{7}{4}$。

したがって、$l$ の方程式は $y = -x + \frac{7}{4}$。

(2) $C_1$ と $C_2$ の交点の $x$ 座標を求める。

$x^2 + 2x + 4 = x^2 - 2x + 2$

$4x = -2$

$x = -\frac{1}{2}$

$C_1$ と $l$ の接点の $x$ 座標を求める。

$x^2 + 2x + 4 = -x + \frac{7}{4}$

$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = 0$

$(x + \frac{3}{2})^2 = 0$

$x = -\frac{3}{2}$

$C_2$ と $l$ の接点の $x$ 座標を求める。

$x^2 - 2x + 2 = -x + \frac{7}{4}$

$x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 = 0$

$x = \frac{1}{2}$

$C_1$ と $C_2$ の $x=-\frac{1}{2}$ における $y$ 座標は、

$y=(-\frac{1}{2})^2+2(-\frac{1}{2})+4 = \frac{1}{4}-1+4=\frac{13}{4}$

求める面積は、

$\int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} (x^2 + 2x + 4 - (-x + \frac{7}{4})) dx + \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (x^2 - 2x + 2 - (-x + \frac{7}{4})) dx$

$= \int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} (x^2 + 3x + \frac{9}{4}) dx + \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (x^2 - x + \frac{1}{4}) dx$

$= [\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + \frac{9}{4}x]_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} + [\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{4}x]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$

$= (-\frac{1}{24} + \frac{3}{8} - \frac{9}{8}) - (-\frac{27}{24} + \frac{27}{8} - \frac{27}{8}) + (\frac{1}{24} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8}) - (-\frac{1}{24} - \frac{1}{8} - \frac{1}{8})$

$= \frac{26}{24} + \frac{2}{24} + \frac{2}{8} = \frac{13}{12} + \frac{1}{12}+\frac{3}{12}= \frac{16}{12} = \frac{4}{3} = 4/3 - 1/6 * 2 +1/12 * 2 =$\frac{4}{3}-1/3 + 1/6=\frac{5}{6}$

$\frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $y = -x + \frac{7}{4}$

(2) $\frac{1}{6}$