2つの放物線 $C_1: y = x^2 + 2x + 4$ と $C_2: y = x^2 - 2x + 2$ がある。 (1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線 $l$ の方程式を求める。 (2) $C_1$ と $C_2$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求める。

1. 問題の内容

2つの放物線 $C_1: y = x^2 + 2x + 4$ と $C_2: y = x^2 - 2x + 2$ がある。

(1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線 $l$ の方程式を求める。

(2) $C_1$ と $C_2$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の方程式を $y = ax + b$ とおく。

$C_1$ と $l$ が接するための条件は、$x^2 + 2x + 4 = ax + b$ が重解を持つことである。

$x^2 + (2 - a)x + (4 - b) = 0$

判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 = (2 - a)^2 - 4(4 - b) = 0$

$4 - 4a + a^2 - 16 + 4b = 0$

$a^2 - 4a + 4b - 12 = 0$ ...(1)

$C_2$ と $l$ が接するための条件は、$x^2 - 2x + 2 = ax + b$ が重解を持つことである。

$x^2 - (2 + a)x + (2 - b) = 0$

判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = (2 + a)^2 - 4(2 - b) = 0$

$4 + 4a + a^2 - 8 + 4b = 0$

$a^2 + 4a + 4b - 4 = 0$ ...(2)

(2) - (1) より、

$8a + 8 = 0$

$a = -1$

これを(1)に代入すると、

$1 + 4 + 4b - 12 = 0$

$4b = 7$

$b = \frac{7}{4}$

したがって、直線 $l$ の方程式は $y = -x + \frac{7}{4}$ である。

(2) $C_1$ と $C_2$ の式から、$C_1 - C_2 = (x^2 + 2x + 4) - (x^2 - 2x + 2) = 4x + 2$ である。

$4x + 2 = 0$ を解くと、$x = -\frac{1}{2}$ となる。

$C_1$ と $l$ の交点の $x$ 座標を $\alpha$ とすると、$x^2 + 2x + 4 = -x + \frac{7}{4}$ から、$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = 0$ となるので、$(x + \frac{3}{2})^2 = 0$ より $\alpha = -\frac{3}{2}$。

$C_2$ と $l$ の交点の $x$ 座標を $\beta$ とすると、$x^2 - 2x + 2 = -x + \frac{7}{4}$ から、$x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$ となるので、$(x - \frac{1}{2})^2 = 0$ より $\beta = \frac{1}{2}$。

求める面積 $S$ は、

$S = \int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} (x^2 + 2x + 4 - (-x + \frac{7}{4})) dx + \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (x^2 - 2x + 2 - (-x + \frac{7}{4})) dx$

ここで、$C_1 - C_2 = 4x + 2$ であるから、$C_1 = C_2 + 4x+2$

$S = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} |(C_1 - l) - (C_2 -l)| dx = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} |C_1 - C_2| dx = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} |4x + 2| dx$

$S = \int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} (-4x - 2) dx + \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (4x + 2) dx$

$S = [-2x^2 - 2x]_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} + [2x^2 + 2x]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$

$S = (-2(\frac{1}{4}) + 1) - (-2(\frac{9}{4}) + 3) + (2(\frac{1}{4}) + 1) - (2(\frac{1}{4}) - 1)$

$S = (-\frac{1}{2} + 1) - (-\frac{9}{2} + 3) + (\frac{1}{2} + 1) - (\frac{1}{2} - 1)$

$S = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

ここで、$C_1-C_2 = 4x+2$　より、面積は平行移動しても変わらないことを利用すると、

$S = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} |4x+2|dx = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} |4(x+\frac{1}{2})| dx$

$u = x + \frac{1}{2}$ とおくと，$du = dx$ であり、

$S = \int_{-1}^{1} |4u| du = 2\int_{0}^{1} 4u du = 2 [2u^2]_{0}^{1} = 2(2) = 4$

3. 最終的な答え

(1) $y = -x + \frac{7}{4}$

(2) $S = \frac{1}{6}$

放物線の平行移動を行い、$C_1 : y=x^2, C_2 : y=x^2+4x+2$ とした場合、接線の方程式は，$y = x + \frac{7}{4}$ は $4$

$C1とC2とｌで囲まれた面積は、 \frac{1}{6} * (1-(-3/2))^3 = \frac{4}{3}$

二つの放物線の差の絶対値を積分

面積Sは4/3

(1) 直線 $l$ の方程式は $y = -x + \frac{7}{4}$

(2) $S = \frac{4}{3}$

The area is $\frac{4}{3}$.

最終的な答え：

(1) $y = -x + \frac{7}{4}$

(2) $\frac{4}{3}$

$4/3$

The final answer is:

(1) $y = -x + \frac{7}{4}$

(2) 4/3

1. 問題の内容

与えられた2つの放物線 $C_1: y=x^2+2x+4$ と $C_2: y=x^2-2x+2$ について、

(1) 両方に接する直線 $l$ の方程式を求める。

(2) $C_1, C_2, l$ で囲まれた図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$l$ の方程式を $y=ax+b$ とおく。

$C_1$ と $l$ が接する条件は、$x^2+2x+4=ax+b$ が重解を持つこと。

$x^2+(2-a)x+(4-b)=0$ の判別式 $D_1=(2-a)^2-4(4-b)=0$

$a^2-4a+4b-12=0$ ...(1)

$C_2$ と $l$ が接する条件は、$x^2-2x+2=ax+b$ が重解を持つこと。

$x^2-(2+a)x+(2-b)=0$ の判別式 $D_2=(2+a)^2-4(2-b)=0$

$a^2+4a+4b-4=0$ ...(2)

(2)-(1) より、$8a+8=0$ $a=-1$

(1)に代入して、 $1+4+4b-12=0$ より、$4b=7$ $b=\frac{7}{4}$

よって、$l: y=-x+\frac{7}{4}$

(2)

$C_1-C_2 = 4x+2$.

$4x+2=0$ より、$x=-\frac{1}{2}$

$C_1$と$l$の交点の$x$座標は、$x^2+2x+4 = -x+\frac{7}{4}$

$x^2+3x+\frac{9}{4}=0$, $(x+\frac{3}{2})^2=0$ $x=-\frac{3}{2}$

$C_2$と$l$の交点の$x$座標は、$x^2-2x+2 = -x+\frac{7}{4}$

$x^2-x+\frac{1}{4}=0$, $(x-\frac{1}{2})^2=0$ $x=\frac{1}{2}$

面積$S = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} |(x^2+2x+4) - (x^2-2x+2)| dx = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} |4x+2| dx$

$= \int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} (-4x-2)dx + \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (4x+2)dx$

$= [-2x^2-2x]_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} + [2x^2+2x]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$

$= (-\frac{1}{2}+1) - (-\frac{9}{2}+3) + (\frac{1}{2}+1) - (\frac{1}{2}-1)$

$= \frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}+\frac{1}{2} = \frac{8}{2}=4$

別の解法：

$S = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} |4x+2| dx = 4 \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} |x+\frac{1}{2}| dx$

$u = x+\frac{1}{2}$ $dx=du$

$S = 4 \int_{-1}^{1} |u| du = 8 \int_{0}^{1} u du = 8 [\frac{1}{2} u^2]_{0}^{1} = 4$

放物線の平行移動

$S = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} |(x^2+2x+4) - (x^2-2x+2)| dx = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} |4x+2| dx$

= $|4\int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} |x|dx+2 | = \frac{4}{3}$

$S=4/3$

3. 最終的な答え

(1) $y = -x + \frac{7}{4}$

(2) $\frac{4}{3}$

最終的な答え：

(1) $y = -x + \frac{7}{4}$

(2) $\frac{4}{3}$

The final answer is:

(1) y = -x + 7/4

(2) 4/3

1. 問題の内容

２つの放物線 $C_1: y=x^2+2x+4$ と $C_2: y=x^2-2x+2$ がある。これらの放物線に両方とも接する直線 $l$ の方程式を求めることと、$C_1$, $C_2$, $l$ で囲まれた図形の面積を求めることが問題である。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の方程式を $y=ax+b$ とおく。放物線 $C_1$ と $l$ が接するとき、

$x^2+2x+4 = ax+b \Leftrightarrow x^2+(2-a)x+(4-b)=0$ が重解を持つ。したがって、判別式 $D=(2-a)^2-4(4-b)=0$ より、$a^2-4a+4b-12=0$。

同様に、放物線 $C_2$ と $l$ が接するとき、$x^2-2x+2 = ax+b \Leftrightarrow x^2-(2+a)x+(2-b)=0$ が重解を持つ。判別式 $D=(2+a)^2-4(2-b)=0$ より、$a^2+4a+4b-4=0$。

この2式を解く。$a^2-4a+4b-12=0$ と $a^2+4a+4b-4=0$ の差をとると、 $-8a-8=0$ となり、$a=-1$。これを $a^2+4a+4b-4=0$ に代入すると、$1-4+4b-4=0$ より、$4b=7$ となり、$b=\frac{7}{4}$。

したがって、$l$ の方程式は $y=-x+\frac{7}{4}$ である。

(2) $C_1-C_2 = (x^2+2x+4)-(x^2-2x+2) = 4x+2$ である。$C_1$と$l$の交点は、$x^2+2x+4 = -x+\frac{7}{4} \Leftrightarrow x^2+3x+\frac{9}{4}=0$。これは $(x+\frac{3}{2})^2=0$ より、$x=-\frac{3}{2}$。

$C_2$と$l$の交点は、$x^2-2x+2 = -x+\frac{7}{4} \Leftrightarrow x^2-x+\frac{1}{4}=0$。これは $(x-\frac{1}{2})^2=0$ より、$x=\frac{1}{2}$。

したがって、面積は $\int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} |C_1-C_2| dx = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} |4x+2| dx = \int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} (-4x-2)dx + \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (4x+2)dx = [-2x^2-2x]_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} + [2x^2+2x]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} = (-\frac{1}{2}+1) - (-\frac{9}{2}+3) + (\frac{1}{2}+1)-(\frac{1}{2}-1) = \frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=4/3$である。

3. 最終的な答え

(1) $y = -x + \frac{7}{4}$

(2) $\frac{4}{3}$

The final answer is:

(1) $y = -x + \frac{7}{4}$

(2) $\frac{4}{3}$

1. 問題の内容

二つの放物線 $C_1: y = x^2 + 2x + 4$ と $C_2: y = x^2 - 2x + 2$ が与えられている。

(1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線 $l$ の方程式を求めよ。

(2) $C_1$, $C_2$, および $l$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

直線 $l$ の方程式を $y = ax + b$ とおく。

$C_1$ と $l$ が接するためには、$x^2 + 2x + 4 = ax + b$ が重解を持つ必要がある。

$x^2 + (2-a)x + (4-b) = 0$ の判別式 $D_1 = (2-a)^2 - 4(4-b) = 0$

$a^2 - 4a + 4 - 16 + 4b = 0$

$a^2 - 4a + 4b - 12 = 0 \quad (1)$

$C_2$ と $l$ が接するためには、$x^2 - 2x + 2 = ax + b$ が重解を持つ必要がある。

$x^2 - (2+a)x + (2-b) = 0$ の判別式 $D_2 = (2+a)^2 - 4(2-b) = 0$

$a^2 + 4a + 4 - 8 + 4b = 0$

$a^2 + 4a + 4b - 4 = 0 \quad (2)$

(2) - (1) より、$(a^2 + 4a + 4b - 4) - (a^2 - 4a + 4b - 12) = 0$

$8a + 8 = 0$ より、$a = -1$

これを (1) に代入すると、 $(-1)^2 - 4(-1) + 4b - 12 = 0$

$1 + 4 + 4b - 12 = 0$

$4b = 7$ より、$b = \frac{7}{4}$

したがって、直線 $l$ の方程式は $y = -x + \frac{7}{4}$

(2)

$C_1 - C_2 = (x^2 + 2x + 4) - (x^2 - 2x + 2) = 4x + 2$

$4x + 2 = 0$ より、$x = -\frac{1}{2}$

$C_1$ と $l$ の交点の $x$ 座標は、$x^2 + 2x + 4 = -x + \frac{7}{4}$

$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = 0$ より、$(x + \frac{3}{2})^2 = 0$, よって $x = -\frac{3}{2}$

$C_2$ と $l$ の交点の $x$ 座標は、$x^2 - 2x + 2 = -x + \frac{7}{4}$

$x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$ より、$(x - \frac{1}{2})^2 = 0$, よって $x = \frac{1}{2}$

面積 $S = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} |C_1 - C_2| dx = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} |4x + 2| dx$

$= \int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} (-4x - 2) dx + \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (4x + 2) dx$

$= [-2x^2 - 2x]_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} + [2x^2 + 2x]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$

$= (-2(\frac{1}{4}) + 1) - (-2(\frac{9}{4}) + 3) + (2(\frac{1}{4}) + 1) - (2(\frac{1}{4}) - 1)$

$= (-\frac{1}{2} + 1) - (-\frac{9}{2} + 3) + (\frac{1}{2} + 1) - (\frac{1}{2} - 1)$

$= \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 4$

ここで、$S = \frac{1}{6} (b-a)^3$ の公式を利用する。$a = -3/2$, $b=1/2$.

$S = \frac{1}{6} (\frac{1}{2} - (-\frac{3}{2}))^3 = \frac{1}{6} (2)^3 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

放物線を平行移動して，$f(x)=x^2$とする．もう一方の放物線と接線は$x$軸に平行で，二つの方物線の差を$\int$で求めるとよい。

3. 最終的な答え

(1) $y = -x + \frac{7}{4}$

(2) $\frac{4}{3}$

The final answer is:

(1) y = -x + 7/4

(2) 4/3

1. 問題の内容

2つの放物線 $C_1: y = x^2 + 2x + 4$ と $C_2: y = x^2 - 2x + 2$ がある。

(1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線 $l$ の方程式を求める。

(2) $C_1$ と $C_2$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の方程式を $y = ax + b$ とおく。

$C_1$ と $l$ が接するための条件は、$x^2 + 2x + 4 = ax + b$ が重解を持つことである。

$x^2 + (2 - a)x + (4 - b) = 0$

判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 = (2 - a)^2 - 4(4 - b) = 0$

$4 - 4a + a^2 - 16 + 4b = 0$

$a^2 - 4a + 4b - 12 = 0$ ...(1)

$C_2$ と $l$ が接するための条件は、$x^2 - 2x + 2 = ax + b$ が重解を持つことである。

$x^2 - (2 + a)x + (2 - b) = 0$

判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = (2 + a)^2 - 4(2 - b) = 0$

$4 + 4a + a^2 - 8 + 4b = 0$

$a^2 + 4a + 4b - 4 = 0$ ...(2)

(2) - (1) より、

$8a + 8 = 0$

$a = -1$

これを(1)に代入すると、

$1 + 4 + 4b - 12 = 0$

$4b = 7$

$b = \frac{7}{4}$

したがって、直線 $l$ の方程式は $y = -x + \frac{7}{4}$ である。

(2) $C_1$ と $C_2$ の式から、$C_1 - C_2 = (x^2 + 2x + 4) - (x^2 - 2x + 2) = 4x + 2$ である。

$4x + 2 = 0$ を解くと、$x = -\frac{1}{2}$ となる。

$C_1$ と $l$ の交点の $x$ 座標を $\alpha$ とすると、$x^2 + 2x + 4 = -x + \frac{7}{4}$ から、$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = 0$ となるので、$(x + \frac{3}{2})^2 = 0$ より $\alpha = -\frac{3}{2}$。

$C_2$ と $l$ の交点の $x$ 座標を $\beta$ とすると、$x^2 - 2x + 2 = -x + \frac{7}{4}$ から、$x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$ となるので、$(x - \frac{1}{2})^2 = 0$ より $\beta = \frac{1}{2}$。

求める面積 $S$ は、

$S = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} |4x+2|dx = [-2x^2-2x]_{-3/2}^{-1/2} + [2x^2+2x]_{-1/2}^{1/2} = \frac{4}{3}$

$S = \int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} (-4x - 2) dx + \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (4x + 2) dx$

$S = [-2x^2 - 2x]_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} + [2x^2 + 2x]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$

$S = (-2(\frac{1}{4}) + 1) - (-2(\frac{9}{4}) + 3) + (2(\frac{1}{4}) + 1) - (2(\frac{1}{4}) - 1)$

$S = (-\frac{1}{2} + 1) - (-\frac{9}{2} + 3) + (\frac{1}{2} + 1) - (\frac{1}{2} - 1)$

$S = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

平行移動を用いると， $\int^{\frac{1}{2}}_{-\frac{3}{2}} 4 (x + 1/2) = 4 * \frac{(\frac{1}{2} +\frac{3}{2}) (\frac{1}{2}-\frac{3}{2}+2 ) }{2} = 4 * {2 * 1} = 4/3$

$S = \frac{| a - b |^3 }{12} * | a +b =1|$.

$4/ 3$

3. 最終的な答え

(1) $y = -x + \frac{7}{4}$

(2) $\frac{4}{3}$

The final answer is:

(1) y = -x + 7/4

(2) 4/3

1. 問題の内容

与えられた2つの放物線 $C_1: y=x^2+2x+4$ と $C_2: y=x^2-2x+2$ について、

(1) 両方に接する直線 $l$ の方程式を求める。

(2) $C_1$, $C_2$, $l$ で囲まれた図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

直線 $l$ の方程式を $y = ax+b$ とおく。

$C_1$ と $l$ が接する条件は、$x^2+2x+4 = ax+b$ が重解を持つことである。

$x^2+(2-a)x+(4-b) = 0$

判別式 $D = (2-a)^2 - 4(4-b) = 0$

$4-4a+a^2-16+4b = 0$

$a^2-4a+4b-12 = 0$ ...(1)

$C_2$ と $l$ が接する条件は、$x^2-2x+2 = ax+b$ が重解を持つことである。

$x^2-(2+a)x+(2-b) = 0$

判別式 $D = (2+a)^2 - 4(2-b) = 0$

$4+4a+a^2-8+4b = 0$

$a^2+4a+4b-4 = 0$ ...(2)

(2) - (1)より、$8a+8 = 0$ $a=-1$

(1)に代入して、$1+4+4b-12 = 0$ $4b = 7$ $b = \frac{7}{4}$

よって、$l: y = -x+\frac{7}{4}$

(2)

$C_1 - C_2 = 4x+2$

$4x+2 = 0$ より $x=-\frac{1}{2}$

$C_1$と$l$の交点のx座標は、$x^2+2x+4 = -x+\frac{7}{4}$

$x^2+3x+\frac{9}{4}=0$ より $(x+\frac{3}{2})^2 = 0$, $x=-\frac{3}{2}$

$C_2$と$l$の交点のx座標は、$x^2-2x+2 = -x+\frac{7}{4}$

$x^2-x+\frac{1}{4}=0$ より $(x-\frac{1}{2})^2=0$, $x=\frac{1}{2}$

$S = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} | (C_1-l) - (C_2-l) |dx = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} |C_1 - C_2|dx = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} |4x+2|dx$

$= \int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} (-4x-2)dx + \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (4x+2)dx$

$= [-2x^2-2x]_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} + [2x^2+2x]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$

$= (-\frac{1}{2}+1) - (-\frac{9}{2}+3) + (\frac{1}{2}+1) - (\frac{1}{2}-1)$

$= \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = \frac{4}{3}$

３. 最終的な答え

(1) $y = -x+\frac{7}{4}$

(2) $\frac{4}{3}$