与えられた定積分を計算します。積分は $y$ に関するもので、積分範囲は $0$ から $x$ までです。被積分関数は $e^{\frac{y}{x}}$ です。つまり、 $$\int_0^x e^{\frac{y}{x}} dy$$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。積分は $y$ に関するもので、積分範囲は $0$ から $x$ までです。被積分関数は $e^{\frac{y}{x}}$ です。つまり、

$$\int_0^x e^{\frac{y}{x}} dy$$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int e^{\frac{y}{x}} dy$ を求めます。

$u = \frac{y}{x}$ と置換すると、$du = \frac{1}{x} dy$ となり、$dy = x du$ となります。

よって、

$$\int e^{\frac{y}{x}} dy = \int e^u (x du) = x \int e^u du = x e^u + C = xe^{\frac{y}{x}} + C$$

したがって、

$$\int_0^x e^{\frac{y}{x}} dy = \left[ xe^{\frac{y}{x}} \right]_0^x = xe^{\frac{x}{x}} - xe^{\frac{0}{x}} = xe^1 - xe^0 = xe - x = x(e-1)$$

3. 最終的な答え

$$x(e-1)$$