$\theta$が鈍角であるとき、以下の問題に答えよ。 (1) $\sin \theta = \frac{1}{3}$のとき、$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求めよ。 (2) $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{5}}$のとき、$\sin \theta$と$\tan \theta$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\theta$が鈍角であるとき、以下の問題に答えよ。

(1) $\sin \theta = \frac{1}{3}$のとき、$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求めよ。

(2) $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{5}}$のとき、$\sin \theta$と$\tan \theta$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$より、

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$

$\cos^2 \theta = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\theta$は鈍角なので、$\cos \theta < 0$。

したがって、

$\cos \theta = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{3} \times (-\frac{3}{2\sqrt{2}}) = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

(2)

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$より、

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$

$\sin^2 \theta = 1 - (-\frac{1}{\sqrt{5}})^2 = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

$\theta$は鈍角なので、$\sin \theta > 0$。

したがって、

$\sin \theta = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{-\frac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \times (-\sqrt{5}) = -\frac{2 \times 5}{5} = -2$

3. 最終的な答え

(1)

$\cos \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan \theta = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

(2)

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\tan \theta = -2$