縦 $p$ m、横 $q$ mの長方形の土地の周囲に、幅 $a$ mの道がある。この道の面積を $S$ m$^2$、道の真ん中を通る線の長さを $l$ mとするとき、$S = al$ となることを証明する。(ア)～(エ)にあてはまる式を求め、証明を完成させる。

1. 問題の内容

縦 $p$ m、横 $q$ mの長方形の土地の周囲に、幅 $a$ mの道がある。この道の面積を $S$ m$^2$、道の真ん中を通る線の長さを $l$ mとするとき、$S = al$ となることを証明する。(ア)～(エ)にあてはまる式を求め、証明を完成させる。

2. 解き方の手順

(ア) 道をふくむ大きな長方形の縦は $(p+2a)$ m、横は $(q+2a)$ mだから、

$S = (p+2a)(q+2a)-pq = pq + 2ap + 2aq + 4a^2 - pq = 2ap + 2aq + 4a^2 = 2a(p+q+2a)$

よって、(ア)は $q+2a$、(イ)は $p+q+2a$。

また、道の真ん中を通る線でできる長方形の縦は $(p+a)$ m、横は $(q+a)$ mだから、

$l = 2\{(p+a)+(q+a)\} = 2(p+q+2a)$

よって、(ウ)は $q+a$。

したがって、

$al = a \cdot 2(p+q+2a) = 2a(p+q+2a)$

よって、(エ)は $2a(p+q+2a)$。

3. 最終的な答え

(ア): $q+2a$

(イ): $p+q+2a$

(ウ): $q+a$

(エ): $2a(p+q+2a)$