一辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、辺BC上に点Pをとり、線分BPの長さを$x$とします。 (1) 三角形OAPの面積を$x$で表してください。 (2) Pが辺BC上を動くとき、三角形OAPの面積の最小値を求めてください。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、辺BC上に点Pをとり、線分BPの長さを$x$とします。

(1) 三角形OAPの面積を$x$で表してください。

(2) Pが辺BC上を動くとき、三角形OAPの面積の最小値を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) 三角形OAPの面積を$x$で表す。

正四面体OABCにおいて、Oから辺BCに垂線を下ろし、その交点をMとすると、MはBCの中点になります。OMの長さは、正三角形OBCの高さなので、$OM = \frac{\sqrt{3}}{2}$です。

次に、Pから辺OAに垂線を下ろし、その交点をHとします。

三角形OAPの面積は$\frac{1}{2} \times OA \times PH$で計算できます。$OA = 1$なので、$\frac{1}{2} PH$を求めれば良いです。

Pは辺BC上にあるので、$BP = x$なら、$PC = 1-x$です。

点PからOAに下ろした垂線の足Hについて、PHを求めるためには、空間ベクトルを使うのが便利です。

$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}, \vec{OC} = \vec{c}$とすると、

$\vec{OP} = (1-x)\vec{OB} + x\vec{OC} = (1-x)\vec{b} + x\vec{c}$

$\vec{OH} = k\vec{OA} = k\vec{a}$とおくと、$\vec{PH} \perp \vec{OA}$なので、$\vec{PH} \cdot \vec{OA} = 0$

$\vec{PH} = \vec{OH} - \vec{OP} = k\vec{a} - (1-x)\vec{b} - x\vec{c}$

$\vec{PH} \cdot \vec{OA} = (k\vec{a} - (1-x)\vec{b} - x\vec{c}) \cdot \vec{a} = k|\vec{a}|^2 - (1-x)(\vec{b} \cdot \vec{a}) - x(\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$

正四面体なので、$|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 = 1$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 1 \times 1 \times \cos{60^\circ} = \frac{1}{2}$

$k - (1-x)\frac{1}{2} - x\frac{1}{2} = 0$

$k = \frac{1}{2} - \frac{x}{2} + \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$

よって、$\vec{OH} = \frac{1}{2} \vec{a}$

$\vec{PH} = \frac{1}{2} \vec{a} - (1-x)\vec{b} - x\vec{c}$

$|\vec{PH}|^2 = (\frac{1}{2} \vec{a} - (1-x)\vec{b} - x\vec{c}) \cdot (\frac{1}{2} \vec{a} - (1-x)\vec{b} - x\vec{c})$

$= \frac{1}{4}|\vec{a}|^2 + (1-x)^2|\vec{b}|^2 + x^2|\vec{c}|^2 - (1-x)(\vec{a} \cdot \vec{b}) - x(\vec{a} \cdot \vec{c}) + 2x(1-x)(\vec{b} \cdot \vec{c})$

$= \frac{1}{4} + (1-x)^2 + x^2 - (1-x)\frac{1}{2} - x\frac{1}{2} + 2x(1-x)\frac{1}{2}$

$= \frac{1}{4} + 1 - 2x + x^2 + x^2 - \frac{1}{2} + \frac{x}{2} - \frac{x}{2} + x - x^2$

$= x^2 - x + \frac{3}{4}$

$PH = \sqrt{x^2 - x + \frac{3}{4}}$

したがって、三角形OAPの面積$S$は、

$S = \frac{1}{2} OA \times PH = \frac{1}{2} \sqrt{x^2 - x + \frac{3}{4}}$

(2) 三角形OAPの面積の最小値を求める。

$S = \frac{1}{2} \sqrt{x^2 - x + \frac{3}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}}$

Pが辺BC上を動くとき、$0 \le x \le 1$

$x = \frac{1}{2}$のとき、$(x-\frac{1}{2})^2$は最小値0をとります。

このとき、$S$は最小値をとるので、

$S_{min} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}\sqrt{x^2-x+\frac{3}{4}}$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{4}$