ひし形OABCにおいて、OA = $\vec{a}$, OB = $\vec{b}$, ∠AOC = 120°である。辺ABを2:1に内分する点をPとし、直線BC上に点QをOP⊥OQとなるようにとる。 (1) 三角形OPQの面積を求める。$\vec{OP}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$で表し、$\vec{OQ}$を$t$と$\vec{a}$, $\vec{b}$で表す。$\vec{a} \cdot \vec{b}$と$\vec{OP} \cdot \vec{OQ}$を計算し、$t$を求め、|$\vec{OP}$|, |$\vec{OQ}$|を求め、三角形OPQの面積$S_1$を求める。 (2) 辺BCを1:3に内分する点をRとし、直線ORと直線PQとの交点をTとする。$\vec{OT}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表し、三角形OPQと三角形PRTの面積比を求める。

1. 問題の内容

ひし形OABCにおいて、OA = $\vec{a}$, OB = $\vec{b}$, ∠AOC = 120°である。辺ABを2:1に内分する点をPとし、直線BC上に点QをOP⊥OQとなるようにとる。

(1) 三角形OPQの面積を求める。$\vec{OP}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$で表し、$\vec{OQ}$を$t$と$\vec{a}$, $\vec{b}$で表す。$\vec{a} \cdot \vec{b}$と$\vec{OP} \cdot \vec{OQ}$を計算し、$t$を求め、|$\vec{OP}$|, |$\vec{OQ}$|を求め、三角形OPQの面積$S_1$を求める。

(2) 辺BCを1:3に内分する点をRとし、直線ORと直線PQとの交点をTとする。$\vec{OT}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表し、三角形OPQと三角形PRTの面積比を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{OP} = \vec{OA} + \vec{AP} = \vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{AB} = \vec{a} + \frac{2}{3}(\vec{b} - \vec{a}) = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$

したがって、ア=1, イ=3, ウ=2。

$\vec{OQ} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OC} = (1-t)\vec{b} + t(\vec{a} + \vec{BC}) = (1-t)\vec{b} + t(\vec{a} + \vec{a} - \vec{b}) = t\vec{a} + (1-2t)\vec{b}$

したがって、エ=$t$。

$|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$, ∠AOB = 120°より、$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos{120^\circ} = 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$

したがって、オ=-1, カ=2。

$\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = (\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}) \cdot (t\vec{a} + (1-2t)\vec{b}) = \frac{1}{3}t|\vec{a}|^2 + \frac{1}{3}(1-2t)\vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{2}{3}t\vec{b} \cdot \vec{a} + \frac{2}{3}(1-2t)|\vec{b}|^2 = \frac{1}{3}t - \frac{1}{6}(1-2t) - \frac{1}{3}t + \frac{2}{3}(1-2t) = \frac{1}{3}t - \frac{1}{6} + \frac{1}{3}t - \frac{1}{3}t + \frac{2}{3} - \frac{4}{3}t = -\frac{2}{3} - \frac{5}{3}t$

OP⊥OQより、$\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = 0$だから、$-\frac{5}{3}t + \frac{1}{2} = 0$

$-\frac{5}{3}t = - \frac{1}{2}$

$t = \frac{3}{10}$

したがって、キ=0, ク=3, ケ=10。

$\vec{OQ} = \frac{3}{10}\vec{a} + (1 - \frac{6}{10})\vec{b} = \frac{3}{10}\vec{a} + \frac{4}{10}\vec{b} = \frac{3}{10}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}$

$|\vec{OP}|^2 = (\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b})^2 = \frac{1}{9}|\vec{a}|^2 + \frac{4}{9}\vec{a}\cdot \vec{b} + \frac{4}{9}|\vec{b}|^2 = \frac{1}{9} - \frac{2}{9} + \frac{4}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

$|\vec{OP}| = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

したがって、コ=3, サ=3。

$|\vec{OQ}|^2 = (\frac{3}{10}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b})^2 = \frac{9}{100}|\vec{a}|^2 + \frac{12}{50}\vec{a}\cdot\vec{b} + \frac{4}{25}|\vec{b}|^2 = \frac{9}{100} - \frac{6}{50} + \frac{4}{25} = \frac{9 - 12 + 16}{100} = \frac{13}{100}$

$|\vec{OQ}| = \sqrt{\frac{13}{100}} = \frac{\sqrt{13}}{10}$

したがって、シス=13, セ=10。

$S_1 = \frac{1}{2}|\vec{OP}||\vec{OQ}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{13}}{10} = \frac{\sqrt{39}}{60}$

したがって、ソ=39, タ=39, チ=60。

(2)

$\vec{OR} = \frac{3\vec{OB} + 1\vec{OC}}{4} = \frac{3\vec{b} + (\vec{a} + \vec{b})}{4} = \frac{1}{4}\vec{a} + \vec{b}$

$\vec{OT} = r\vec{OR} = r(\frac{1}{4}\vec{a} + \vec{b}) = \frac{r}{4}\vec{a} + r\vec{b}$

$\vec{OT} = (1-s)\vec{OP} + s\vec{OQ} = (1-s)(\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}) + s(\frac{3}{10}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}) = (\frac{1-s}{3} + \frac{3s}{10})\vec{a} + (\frac{2(1-s)}{3} + \frac{2s}{5})\vec{b} = (\frac{10-10s+9s}{30})\vec{a} + (\frac{10-10s+6s}{15})\vec{b} = (\frac{10-s}{30})\vec{a} + (\frac{10-4s}{15})\vec{b}$

係数比較して、

$\frac{r}{4} = \frac{10-s}{30}$

$r = \frac{10-4s}{15}$

$\frac{3}{2} r = \frac{10-s}{5}$

$\frac{3}{2}(\frac{10-4s}{15}) = \frac{10-s}{5}$

$\frac{30-12s}{30} = \frac{10-s}{5}$

$\frac{30-12s}{6} = 10-s$

$30-12s = 60 - 6s$

$-30 = 6s$

$s = -5$

したがって、ナ=5, ニ=1。

$r = \frac{10-4(-5)}{15} = \frac{10+20}{15} = \frac{30}{15} = 2$

したがって、テ=2, ト=1。

$\vec{OT} = \frac{2}{4}\vec{a} + 2\vec{b} = \frac{1}{2}\vec{a} + 2\vec{b} = \frac{1}{2}\vec{a} + 2\vec{b}$

したがって、ヌネ=1, ノハ=2, ヒ=2, フ=1。

$\vec{OR} = \frac{1}{4}\vec{a} + \vec{b}$

$\vec{RT} = \vec{OT} - \vec{OR} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{4})\vec{a} + (2-1)\vec{b} = \frac{1}{4}\vec{a} + \vec{b}$

$S_1 = \frac{1}{2} |OP| |OQ| sin \theta$

$S_2 = \frac{1}{2} |PR| |PT| sin \theta'$

$S_2 / S_1 = |OR| |PT| / |OP| |OQ|$

$S_1: S_2 = |1:2|$

3. 最終的な答え

(1) ア=1, イ=3, ウ=2, エ=$t$, オ=-1, カ=2, キ=0, ク=3, ケ=10, コ=3, サ=3, シス=13, セ=10, ソ=√39, タ=39, チ=60

$S_1 = \frac{\sqrt{39}}{60}$

(2) テ=2, ト=1, ナ=5, 二=1, ヌネ=1, ノハ=2, ヒ=2, フ=1, ヘホ=3

$S_1:S_2 = 3:2$