一辺の長さが1の正四面体OABCの辺BC上に点Pがあり、線分BPの長さを$x$とする。 (1) 三角形OAPの面積を$x$で表せ。 (2) Pが辺BC上を動くとき、三角形OAPの面積の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体OABCの辺BC上に点Pがあり、線分BPの長さを$x$とする。

(1) 三角形OAPの面積を$x$で表せ。

(2) Pが辺BC上を動くとき、三角形OAPの面積の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 三角形OAPの面積を$x$で表す。

三角形OBCは一辺の長さが1の正三角形なので、その高さは $\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。点Oから辺BCに垂線を下ろし、その足をHとすると、OH = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。

$\overrightarrow{OP} = (1-x)\overrightarrow{OB} + x\overrightarrow{OC}$ と表せる。

三角形OAPの面積は、$\frac{1}{2}|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OP}|$で求められる。

$\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} \times ((1-x)\overrightarrow{OB} + x\overrightarrow{OC}) = (1-x)(\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}) + x(\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OC})$

正四面体OABCにおいて、各辺の長さは1なので、

$|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}| \sin{\angle AOB} = 1 \cdot 1 \cdot \sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

同様に、

$|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OC}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$

また、$\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}$ と $\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OC}$ は平行なので、

$|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OP}| = |(1-x)(\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}) + x(\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OC})| = |(1-x) + x| |\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、三角形OAPの面積は、$\frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

別解：

底辺OAの長さは１である。OからOAに垂直な平面におろしたPの高さを考える。高さはPがBCのどこにあってもかわらない。

高さは正四面体OABCの高さであり$\frac{\sqrt{6}}{3}$である。ゆえに面積は$\frac{\sqrt{6}}{6}$。

(2) Pが辺BC上を動くとき、三角形OAPの面積の最小値を求める。

Pの位置に関わらず三角形OAPの面積は変わらない。

よって最小値は$\frac{\sqrt{6}}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{6}}{6}$

(2) $\frac{\sqrt{6}}{6}$