縦 $p$ m、横 $q$ m の長方形の土地の周囲に、幅 $a$ m の道がある。この道の面積を $S$ m$^2$、道の真ん中を通る線の長さを $\ell$ m とするとき、$S = a\ell$ となることを証明する問題。空欄（ア）～（エ）に当てはまる式を記入し、証明を完成させる。

1. 問題の内容

縦 $p$ m、横 $q$ m の長方形の土地の周囲に、幅 $a$ m の道がある。この道の面積を $S$ m$^2$、道の真ん中を通る線の長さを $\ell$ m とするとき、$S = a\ell$ となることを証明する問題。空欄（ア）～（エ）に当てはまる式を記入し、証明を完成させる。

2. 解き方の手順

（ア）道の面積を計算する部分を埋める。

道をふくむ大きな長方形の縦は $(p+2a)$ m なので、横の長さは $(q+2a)$ m となる。

したがって、

$S = (p+2a)(q+2a) - pq$

$= pq + 2ap + 2aq + 4a^2 - pq$

$= 2ap + 2aq + 4a^2$

（イ）$S$ を $2a$ でくくると、

$S = 2a(p + q + 2a)$

したがって、イに当てはまるのは $p + q + 2a$

（ウ）道の真ん中を通る線でできる長方形の縦は $(p+a)$ m なので、横の長さは $(q+a)$ m となる。

$l = 2\{(p+a) + (q+a)\}$

$= 2(p + q + 2a)$

（エ）$a\ell$ を計算する。

$a\ell = a \times 2(p+q+2a)$

$= 2a(p + q + 2a)$

したがって、エに当てはまるのは $2a(p+q+2a)$

3. 最終的な答え

ア：$q+2a$

イ：$p+q+2a$

ウ：$q+a$

エ：$2a(p+q+2a)$