次の連立不等式を解く問題です。 $\begin{cases} (2 - \sqrt{5})x > -1 \\ |3x-5| < 8 \end{cases}$

1. 問題の内容

次の連立不等式を解く問題です。

$\begin{cases} (2 - \sqrt{5})x > -1 \\ |3x-5| < 8 \end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、一つ目の不等式から解いていきます。

$2 - \sqrt{5}$ は負の数であることに注意してください（$\sqrt{5} \approx 2.236$ なので、$2 - \sqrt{5} < 0$）。したがって、$2 - \sqrt{5}$ で割るときに不等号の向きが変わります。

$(2 - \sqrt{5})x > -1$

$x < \frac{-1}{2 - \sqrt{5}}$

分母の有理化を行います。

$x < \frac{-1}{2 - \sqrt{5}} \cdot \frac{2 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}}$

$x < \frac{-(2 + \sqrt{5})}{4 - 5}$

$x < \frac{-2 - \sqrt{5}}{-1}$

$x < 2 + \sqrt{5}$

次に、二つ目の不等式を解きます。

$|3x - 5| < 8$

$-8 < 3x - 5 < 8$

$-8 + 5 < 3x < 8 + 5$

$-3 < 3x < 13$

$-1 < x < \frac{13}{3}$

したがって、連立不等式は以下のようになります。

$\begin{cases} x < 2 + \sqrt{5} \\ -1 < x < \frac{13}{3} \end{cases}$

$2 + \sqrt{5} \approx 2 + 2.236 = 4.236$

$\frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4.333$

数直線上で考えると、$x$ は $-1$ より大きく $\frac{13}{3}$ より小さく、同時に $2 + \sqrt{5}$ より小さい必要があります。$2 + \sqrt{5} < \frac{13}{3}$ であるため、共通範囲は $-1 < x < 2 + \sqrt{5}$ となります。

3. 最終的な答え

$-1 < x < 2 + \sqrt{5}$