問題は、式 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解することです。

1. 問題の内容

問題は、式 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解することです。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b$

次に、この式を整理し、因数分解しやすいように並べ替えます。

$a^2b - a^2c + b^2c - ab^2 + ac^2 - bc^2 = a^2(b-c) + a(c^2 - b^2) + bc(b-c)$

$= a^2(b-c) - a(b^2 - c^2) + bc(b-c)$

$= a^2(b-c) - a(b+c)(b-c) + bc(b-c)$

ここで、$b-c$ が共通因数であることに注目し、くくり出します。

$(b-c)(a^2 - a(b+c) + bc)$

$= (b-c)(a^2 - ab - ac + bc)$

次に、$a^2 - ab - ac + bc$ の部分を因数分解します。

$a^2 - ab - ac + bc = a(a-b) - c(a-b) = (a-b)(a-c)$

したがって、与えられた式は次のように因数分解できます。

$(b-c)(a-b)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)$