与えられた方程式と不等式を、定数 $a$ を用いて解く問題です。具体的には、以下の3つの問題を解きます。 (1) $ax = 2(x+a)$ (2) $ax \le 3$ (3) $ax+1 > x+a^2$

1. 問題の内容

与えられた方程式と不等式を、定数 $a$ を用いて解く問題です。具体的には、以下の3つの問題を解きます。

(1) $ax = 2(x+a)$

(2) $ax \le 3$

(3) $ax+1 > x+a^2$

2. 解き方の手順

(1) $ax = 2(x+a)$ を解きます。

まず、式を展開します。

$ax = 2x + 2a$

次に、$x$ を含む項を左辺に、それ以外の項を右辺に移動します。

$ax - 2x = 2a$

$x$ でくくります。

$(a-2)x = 2a$

ここで、$a-2$ の値によって場合分けします。

* $a-2 \neq 0$ (つまり、$a \neq 2$) のとき、$x = \frac{2a}{a-2}$

* $a-2 = 0$ (つまり、$a = 2$) のとき、$0 \cdot x = 4$ となり、これを満たす $x$ は存在しません。したがって、解なし。

(2) $ax \le 3$ を解きます。

$a$ の値によって場合分けします。

* $a > 0$ のとき、$x \le \frac{3}{a}$

* $a = 0$ のとき、$0 \cdot x \le 3$ となり、これは常に成立します。したがって、すべての実数 $x$ が解となります。

* $a < 0$ のとき、$x \ge \frac{3}{a}$

(3) $ax+1 > x+a^2$ を解きます。

まず、$x$ を含む項を左辺に、それ以外の項を右辺に移動します。

$ax - x > a^2 - 1$

$x$ でくくります。

$(a-1)x > a^2 - 1$

ここで、$a-1$ の値によって場合分けします。

* $a-1 > 0$ (つまり、$a > 1$) のとき、$x > \frac{a^2-1}{a-1}$。ここで、$\frac{a^2-1}{a-1} = \frac{(a-1)(a+1)}{a-1} = a+1$ なので、$x > a+1$

* $a-1 = 0$ (つまり、$a = 1$) のとき、$0 \cdot x > 0$ となり、これを満たす $x$ は存在しません。したがって、解なし。

* $a-1 < 0$ (つまり、$a < 1$) のとき、$x < \frac{a^2-1}{a-1}$。同様に、$x < a+1$

3. 最終的な答え

(1) $ax = 2(x+a)$ の解：

* $a \neq 2$ のとき、$x = \frac{2a}{a-2}$

* $a = 2$ のとき、解なし

(2) $ax \le 3$ の解：

* $a > 0$ のとき、$x \le \frac{3}{a}$

* $a = 0$ のとき、すべての実数 $x$

* $a < 0$ のとき、$x \ge \frac{3}{a}$

(3) $ax+1 > x+a^2$ の解：

* $a > 1$ のとき、$x > a+1$

* $a = 1$ のとき、解なし

* $a < 1$ のとき、$x < a+1$