右の図において、A地点からB地点まで最短経路で行く場合の数と、P地点を通ってA地点からB地点まで最短経路で行く場合の数を求めます。

1. 問題の内容

右の図において、A地点からB地点まで最短経路で行く場合の数と、P地点を通ってA地点からB地点まで最短経路で行く場合の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) A地点からB地点までの最短経路の数を求めます。

AからBへ行くには、右に6回、上に4回移動する必要があります。したがって、全部で10回の移動のうち、右への移動を6回選ぶ場合の数、または上への移動を4回選ぶ場合の数を計算します。これは組み合わせの問題として解けます。

全経路数は、

$\binom{10}{6} = \frac{10!}{6!4!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$通りです。

(2) P地点を通ってA地点からB地点まで最短経路で行く場合の数を求めます。

まず、A地点からP地点までの最短経路の数を求めます。AからPへ行くには、右に3回、上に2回移動する必要があります。したがって、全部で5回の移動のうち、右への移動を3回選ぶ場合の数、または上への移動を2回選ぶ場合の数を計算します。

AからPへの経路数は、

$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通りです。

次に、P地点からB地点までの最短経路の数を求めます。PからBへ行くには、右に3回、上に2回移動する必要があります。したがって、全部で5回の移動のうち、右への移動を3回選ぶ場合の数、または上への移動を2回選ぶ場合の数を計算します。

PからBへの経路数は、

$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通りです。

したがって、P地点を通ってA地点からB地点まで最短経路で行く場合の数は、AからPへの経路数とPからBへの経路数を掛け合わせたものになります。

$10 \times 10 = 100$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 最短経路は210通り

(2) P地点を通っていく最短経路は100通り