## 問題の回答

## 問題の回答

###

1. 問題の内容

集合 $X$ から集合 $Y$ への写像 $f: X \rightarrow Y$ と、$X$ の部分集合 $A, B$ および $Y$ の部分集合 $C, D$ について、与えられた命題が成り立つことを示すか、反例を挙げる問題です。

###

2. 解き方の手順

それぞれの問題について以下のように解答します。

**(1) $A \subset B$ ならば $f(A) \subset f(B)$**

これは正しいです。

証明：

$y \in f(A)$ とすると、ある $x \in A$ が存在して $f(x) = y$ となります。$A \subset B$ であるから、$x \in B$ でもあり、したがって $y = f(x) \in f(B)$ です。よって、$f(A) \subset f(B)$ が成り立ちます。

**(2) $f(A) \subset f(B)$ だが $A \subset B$ とならない例を挙げよ**

$X = \{1, 2\}, Y = \{3\}, A = \{1\}, B = \{2\}, f(1) = f(2) = 3$ とします。

このとき、$f(A) = \{3\}, f(B) = \{3\}$ なので、$f(A) \subset f(B)$ が成り立ちますが、$A \subset B$ は成り立ちません。

**(3) $f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)$**

これは正しいです。

証明：

$y \in f(A \cup B)$ とすると、ある $x \in A \cup B$ が存在して $f(x) = y$ となります。

$x \in A$ または $x \in B$ なので、$y = f(x) \in f(A)$ または $y = f(x) \in f(B)$ です。

よって、$y \in f(A) \cup f(B)$ となり、$f(A \cup B) \subset f(A) \cup f(B)$ が成り立ちます。

逆に、$y \in f(A) \cup f(B)$ とすると、$y \in f(A)$ または $y \in f(B)$ です。

$y \in f(A)$ ならば、ある $x \in A$ が存在して $f(x) = y$ となり、$x \in A \cup B$ であるから $y \in f(A \cup B)$ です。

$y \in f(B)$ ならば、ある $x \in B$ が存在して $f(x) = y$ となり、$x \in A \cup B$ であるから $y \in f(A \cup B)$ です。

よって、$f(A) \cup f(B) \subset f(A \cup B)$ が成り立ちます。

以上より、$f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)$ が成り立ちます。

**(4) $f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$. また等号が成立しない例をあげよ**

$f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$ は正しいです。

証明：

$y \in f(A \cap B)$ とすると、ある $x \in A \cap B$ が存在して $f(x) = y$ となります。

$x \in A$ かつ $x \in B$ なので、$y = f(x) \in f(A)$ かつ $y = f(x) \in f(B)$ です。

よって、$y \in f(A) \cap f(B)$ となり、$f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$ が成り立ちます。

等号が成立しない例：

$X = \{1, 2\}, Y = \{3\}, A = \{1\}, B = \{2\}, f(1) = f(2) = 3$ とします。

このとき、$A \cap B = \emptyset$ なので $f(A \cap B) = \emptyset$ です。

また、$f(A) = \{3\}, f(B) = \{3\}$ なので、$f(A) \cap f(B) = \{3\}$ です。

よって、$f(A \cap B) \neq f(A) \cap f(B)$ となります。

**(5) $f(X) \cap f(A)^c \subset f(A^c)$. また等号が成立しない例をあげよ。**

$f(X) \cap f(A)^c \subset f(A^c)$ は正しいです。

証明：

$y \in f(X) \cap f(A)^c$ とすると、$y \in f(X)$ かつ $y \notin f(A)$ です。

$y \in f(X)$ より、ある $x \in X$ が存在して、$f(x) = y$ となります。

もし $x \in A$ ならば、$y = f(x) \in f(A)$ となり、$y \notin f(A)$ に矛盾します。

したがって、$x \notin A$、つまり $x \in A^c$ です。

よって、$y = f(x) \in f(A^c)$ となり、$f(X) \cap f(A)^c \subset f(A^c)$ が成り立ちます。

等号が成立しない例：

$X = \{1, 2\}, Y = \{3\}, A = \{1\}, f(1) = f(2) = 3$ とします。

このとき、$f(X) = \{3\}$, $A^c = \{2\}$, $f(A)^c = \emptyset$, $f(A^c) = \{3\}$ となります。

したがって、$f(X) \cap f(A)^c = \{3\} \cap \emptyset = \emptyset$ であり、$f(A^c) = \{3\}$ なので、$f(X) \cap f(A)^c \neq f(A^c)$ となります。

**(6) $C \subset D$ ならば $f^{-1}(C) \subset f^{-1}(D)$**

これは正しいです。

証明：

$x \in f^{-1}(C)$ とすると、$f(x) \in C$ です。

$C \subset D$ であるから、$f(x) \in D$ でもあり、したがって $x \in f^{-1}(D)$ です。

よって、$f^{-1}(C) \subset f^{-1}(D)$ が成り立ちます。

**(7) $f^{-1}(C) \subset f^{-1}(D)$ だが $C \subset D$ とならない例を挙げよ**

$X = \{1\}, Y = \{2, 3\}, f(1) = 2, C = \{2\}, D = \{3\}$ とします。

このとき、$f^{-1}(C) = \{1\}, f^{-1}(D) = \emptyset$ なので、$f^{-1}(C) \subset f^{-1}(D)$ は成り立ちません。

また、 $C \subset D$ も成り立ちません。

正しい反例は以下の通りです：

$X = \{1, 2\}, Y = \{3\}, f(1) = f(2) = 3, C = \{3\}, D = \emptyset$ とします。

このとき、$f^{-1}(C) = \{1, 2\}, f^{-1}(D) = \emptyset$ なので、$f^{-1}(C) \supset f^{-1}(D)$ です。しかし $C \not\subset D$ です。

**(8) $f^{-1}(C \cup D) = f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)$**

これは正しいです。

証明：

$x \in f^{-1}(C \cup D)$ とすると、$f(x) \in C \cup D$ です。

したがって、$f(x) \in C$ または $f(x) \in D$ なので、$x \in f^{-1}(C)$ または $x \in f^{-1}(D)$ です。

よって、$x \in f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)$ となり、$f^{-1}(C \cup D) \subset f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)$ が成り立ちます。

逆に、$x \in f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)$ とすると、$x \in f^{-1}(C)$ または $x \in f^{-1}(D)$ です。

$x \in f^{-1}(C)$ ならば、$f(x) \in C$ であり、$f(x) \in C \cup D$ となるので、$x \in f^{-1}(C \cup D)$ です。

$x \in f^{-1}(D)$ ならば、$f(x) \in D$ であり、$f(x) \in C \cup D$ となるので、$x \in f^{-1}(C \cup D)$ です。

よって、$f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D) \subset f^{-1}(C \cup D)$ が成り立ちます。

以上より、$f^{-1}(C \cup D) = f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)$ が成り立ちます。

**(9) $f^{-1}(C \cap D) = f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)$**

これは正しいです。

証明：

$x \in f^{-1}(C \cap D)$ とすると、$f(x) \in C \cap D$ です。

したがって、$f(x) \in C$ かつ $f(x) \in D$ なので、$x \in f^{-1}(C)$ かつ $x \in f^{-1}(D)$ です。

よって、$x \in f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)$ となり、$f^{-1}(C \cap D) \subset f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)$ が成り立ちます。

逆に、$x \in f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)$ とすると、$x \in f^{-1}(C)$ かつ $x \in f^{-1}(D)$ です。

$x \in f^{-1}(C)$ ならば、$f(x) \in C$ であり、$x \in f^{-1}(D)$ ならば、$f(x) \in D$ です。

したがって、$f(x) \in C$ かつ $f(x) \in D$ なので、$f(x) \in C \cap D$ となり、$x \in f^{-1}(C \cap D)$ です。

よって、$f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D) \subset f^{-1}(C \cap D)$ が成り立ちます。

以上より、$f^{-1}(C \cap D) = f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)$ が成り立ちます。

**(10) $f^{-1}(C^c) = (f^{-1}(C))^c$**

これは正しいです。

証明：

$x \in f^{-1}(C^c)$ とすると、$f(x) \in C^c$ です。

したがって、$f(x) \notin C$ なので、$x \notin f^{-1}(C)$ です。

よって、$x \in (f^{-1}(C))^c$ となり、$f^{-1}(C^c) \subset (f^{-1}(C))^c$ が成り立ちます。

逆に、$x \in (f^{-1}(C))^c$ とすると、$x \notin f^{-1}(C)$ です。

したがって、$f(x) \notin C$ なので、$f(x) \in C^c$ となり、$x \in f^{-1}(C^c)$ です。

よって、$(f^{-1}(C))^c \subset f^{-1}(C^c)$ が成り立ちます。

以上より、$f^{-1}(C^c) = (f^{-1}(C))^c$ が成り立ちます。

**(11) $A \subset f^{-1}(f(A))$. また等号が成立しない例をあげよ**

$A \subset f^{-1}(f(A))$ は正しいです。

証明：

$x \in A$ とすると、$f(x) \in f(A)$ です。

したがって、$x \in f^{-1}(f(A))$ となり、$A \subset f^{-1}(f(A))$ が成り立ちます。

等号が成立しない例：

$X = \{1, 2\}, Y = \{3\}, A = \{1\}, f(1) = f(2) = 3$ とします。

このとき、$f(A) = \{3\}$ なので、$f^{-1}(f(A)) = f^{-1}(\{3\}) = \{1, 2\}$ です。

したがって、$A = \{1\}$ であり、$f^{-1}(f(A)) = \{1, 2\}$ なので、$A \neq f^{-1}(f(A))$ となります。

**(12) $f$ が単射ならば $A = f^{-1}(f(A))$**

これは正しいです。

証明：

$A \subset f^{-1}(f(A))$ は常に成り立つので、$f^{-1}(f(A)) \subset A$ を示します。

$x \in f^{-1}(f(A))$ とすると、$f(x) \in f(A)$ です。

したがって、ある $a \in A$ が存在して $f(x) = f(a)$ となります。

$f$ が単射なので、$x = a$ です。

よって、$x \in A$ となり、$f^{-1}(f(A)) \subset A$ が成り立ちます。

以上より、$f$ が単射ならば $A = f^{-1}(f(A))$ が成り立ちます。

**(13) $f(f^{-1}(C)) \subset C$. また等号が成立しない例をあげよ**

$f(f^{-1}(C)) \subset C$ は正しいです。

証明：

$y \in f(f^{-1}(C))$ とすると、ある $x \in f^{-1}(C)$ が存在して $f(x) = y$ となります。

$x \in f^{-1}(C)$ より、$f(x) \in C$ なので、$y \in C$ です。

よって、$f(f^{-1}(C)) \subset C$ が成り立ちます。

等号が成立しない例：

$X = \{1\}, Y = \{2, 3\}, f(1) = 2, C = \{2, 3\}$ とします。

このとき、$f^{-1}(C) = \{1\}$ なので、$f(f^{-1}(C)) = f(\{1\}) = \{2\}$ です。

したがって、$f(f^{-1}(C)) = \{2\}$ であり、$C = \{2, 3\}$ なので、$f(f^{-1}(C)) \neq C$ となります。

**(14) $f$ が全射ならば $f(f^{-1}(C)) = C$**

これは正しいです。

証明：

$f(f^{-1}(C)) \subset C$ は常に成り立つので、$C \subset f(f^{-1}(C))$ を示します。

$y \in C$ とします。

$f$ が全射なので、ある $x \in X$ が存在して $f(x) = y$ となります。

$f(x) = y \in C$ なので、$x \in f^{-1}(C)$ です。

したがって、$y = f(x) \in f(f^{-1}(C))$ となり、$C \subset f(f^{-1}(C))$ が成り立ちます。

以上より、$f$ が全射ならば $f(f^{-1}(C)) = C$ が成り立ちます。

**(15) $f$ が全射ならば $f(A^c) \supset f(A)^c$**

これは正しいです。

証明：

$y \in f(A)^c$ とすると、$y \notin f(A)$ です。

$f$ が全射なので、ある $x \in X$ が存在して $f(x) = y$ となります。

$f(x) = y \notin f(A)$ なので、$x \notin A$、つまり $x \in A^c$ です。

したがって、$y = f(x) \in f(A^c)$ となり、$f(A^c) \supset f(A)^c$ が成り立ちます。

**(16) $f$ が単射ならば $f(A^c) \subset f(A)^c$**

これは正しいです。

証明：

$y \in f(A^c)$ とすると、ある $x \in A^c$ が存在して $f(x) = y$ となります。

$x \in A^c$ より、$x \notin A$ です。

$f$ が単射なので、$f(x) \notin f(A)$、つまり $y \notin f(A)$ です。

したがって、$y \in f(A)^c$ となり、$f(A^c) \subset f(A)^c$ が成り立ちます。

**(17) $f$ が単射ならば $f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$**

これは正しいです。

証明：

$f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$ は常に成り立つので、$f(A \cap B) \supset f(A) \cap f(B)$ を示します。

$y \in f(A) \cap f(B)$ とすると、$y \in f(A)$ かつ $y \in f(B)$ です。

したがって、ある $a \in A$ と $b \in B$ が存在して、$f(a) = y$ かつ $f(b) = y$ となります。

よって、$f(a) = f(b)$ です。

$f$ が単射なので、$a = b$ です。

したがって、$a \in A \cap B$ なので、$y = f(a) \in f(A \cap B)$ となります。

よって、$f(A \cap B) \supset f(A) \cap f(B)$ が成り立ちます。

以上より、$f$ が単射ならば $f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$ が成り立ちます。

###

3. 最終的な答え

上記の解答を参照してください。各命題の真偽、証明、および反例はそれぞれの問題の解き方の手順に記載されています。