角砂糖11個を3枚の皿に、どの皿にも少なくとも1個はのるように分ける問題を解きます。 (1) 互いに区別のない3枚の皿に分ける場合の数 (2) 互いに区別のある3枚の皿に分ける場合の数 (3) 区別のない2枚の皿と、区別のある1枚の皿に分ける場合の数

1. 問題の内容

角砂糖11個を3枚の皿に、どの皿にも少なくとも1個はのるように分ける問題を解きます。

(1) 互いに区別のない3枚の皿に分ける場合の数

(2) 互いに区別のある3枚の皿に分ける場合の数

(3) 区別のない2枚の皿と、区別のある1枚の皿に分ける場合の数

2. 解き方の手順

(1) 互いに区別のない3枚の皿に分ける場合

まず、各皿に少なくとも1個は角砂糖をのせるという条件を満たすために、最初に各皿に1個ずつ角砂糖を配ります。残りの8個の角砂糖を3つの皿に自由に配る場合の数を考えます。ただし、皿の区別がないので、分割数を考えます。

8 = 6 + 1 + 1

8 = 5 + 2 + 1

8 = 4 + 3 + 1

8 = 4 + 2 + 2

8 = 3 + 3 + 2

したがって、これらの分割に対応する角砂糖の個数の組み合わせは、

(7, 2, 2), (6, 3, 2), (5, 4, 2), (5, 3, 3), (6, 2, 1), (5, 3, 1), (4, 4, 1), (4, 3, 2)

これに最初に各皿に1つずつ配ったものを足し合わせると、

(7+1, 2+1, 2+1), (6+1, 3+1, 2+1), (5+1, 4+1, 2+1), (5+1, 3+1, 3+1), (6+1, 2+1, 1+1), (5+1, 3+1, 1+1), (4+1, 4+1, 1+1), (4+1, 3+1, 2+1)

すなわち、

(8, 3, 3), (7, 4, 3), (6, 5, 3), (6, 4, 4), (7, 3, 2), (6, 4, 2), (5, 5, 2), (5, 4, 3)

これらの個数の組み合わせが、3つの区別のない皿への分け方になります。

分割数は1つ目の場合が(8,3,3) 2つ目の場合が(7,4,3) 3つ目の場合が(6,5,3) 4つ目の場合が(6,4,4) 5つ目の場合が(7,3,2) 6つ目の場合が(6,4,2) 7つ目の場合が(5,5,2) 8つ目の場合が(5,4,3) であり、これらの分割はすべて異なるので、場合の数は8通りです。

8個の分割数は全部で 22 個あります。

しかし、これは間違った考え方です。正しくは、

x + y + z = 11 (x, y, z >= 1)をみたす整数の組の個数です。

x' = x - 1, y' = y - 1, z' = z - 1 とおくと、x' + y' + z' = 8 (x', y', z' >= 0)をみたす整数の組の個数に等しいです。

これは、8個の区別できない玉を3つの区別できる箱に入れる場合の数に等しく、$\binom{8+3-1}{3-1} = \binom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$通りです。

しかし、今回は皿に区別がないので、異なる分け方を列挙します。

(9, 1, 1), (8, 2, 1), (7, 3, 1), (7, 2, 2), (6, 4, 1), (6, 3, 2), (5, 5, 1), (5, 4, 2), (5, 3, 3), (4, 4, 3)

したがって、10通り。

(2) 互いに区別のある3枚の皿に分ける場合

上記の$\binom{10}{2} = 45$通り。

(3) 区別のない2枚とそれとは異なる1枚の合計3枚の皿にのせる場合

x + y + z = 11 (x, y, z >= 1)

x = y のとき、2x + z = 11。x = 1, 2, 3, 4, 5 で、それぞれ z = 9, 7, 5, 3, 1

x != y のとき、$\binom{3}{2}$通り。ただし、区別できない場合がある。

3. 最終的な答え

(1) 10 通り

(2) 45 通り

(3) 計算中