8人を指定された条件でグループ分けする方法の数を求める問題です。 (1) 8人をA, B, C, Dの4つの組に2人ずつ分ける方法の数を求める。 (2) 8人を2人ずつの4つの組に分ける方法の数を求める。 (3) 8人を3人、3人、2人の3つの組に分ける方法の数を求める。

1. 問題の内容

8人を指定された条件でグループ分けする方法の数を求める問題です。

(1) 8人をA, B, C, Dの4つの組に2人ずつ分ける方法の数を求める。

(2) 8人を2人ずつの4つの組に分ける方法の数を求める。

(3) 8人を3人、3人、2人の3つの組に分ける方法の数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、Aの組に入れる2人を選ぶ組み合わせは、$_8C_2$通り。

次に、残りの6人からBの組に入れる2人を選ぶ組み合わせは、$_6C_2$通り。

さらに、残りの4人からCの組に入れる2人を選ぶ組み合わせは、$_4C_2$通り。

最後に、残りの2人からDの組に入れる2人を選ぶ組み合わせは、$_2C_2$通り。

したがって、A, B, C, Dの組に区別がある場合は、

$_8C_2 \times _6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times \frac{2 \times 1}{2 \times 1} = 28 \times 15 \times 6 \times 1 = 2520$通り。

(2)

2人ずつの4つの組に分ける場合、組に区別がないので、(1)の場合の数を4!で割る必要がある。

したがって、

$\frac{_8C_2 \times _6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2}{4!} = \frac{2520}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{2520}{24} = 105$通り。

(3)

まず、8人から3人を選ぶ組み合わせは、$_8C_3$通り。

次に、残りの5人から3人を選ぶ組み合わせは、$_5C_3$通り。

最後に、残りの2人から2人を選ぶ組み合わせは、$_2C_2$通り。

この場合、3人の組が2つあり区別がないので、選ぶ順番を考慮する必要がある。よって、$_8C_3$と$_5C_3$を選んだ後、2!で割る。

したがって、

$\frac{_8C_3 \times _5C_3 \times _2C_2}{2!} = \frac{\frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{2 \times 1}{2 \times 1}}{2} = \frac{56 \times 10 \times 1}{2} = \frac{560}{2} = 280$通り。

3. 最終的な答え

(1) 2520通り

(2) 105通り

(3) 280通り