全体集合 $U$ の部分集合 $A, B$ について、要素の個数が $n(U) = 40$, $n(A) = 18$, $n(B) = 25$, $n(A \cap B) = 6$ であるとき、以下の集合の要素の個数を求める。 (1) $n(A \cup B)$ (2) $n(\overline{B})$ (3) $n(\overline{A \cup B})$ (4) $n(\overline{A \cap B})$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ の部分集合 $A, B$ について、要素の個数が $n(U) = 40$, $n(A) = 18$, $n(B) = 25$, $n(A \cap B) = 6$ であるとき、以下の集合の要素の個数を求める。

(1) $n(A \cup B)$

(2) $n(\overline{B})$

(3) $n(\overline{A \cup B})$

(4) $n(\overline{A \cap B})$

2. 解き方の手順

(1) 和集合 $A \cup B$ の要素の個数は、以下の公式を用いて計算する。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

与えられた値を代入すると、

$n(A \cup B) = 18 + 25 - 6 = 37$

(2) 補集合 $\overline{B}$ の要素の個数は、以下の公式を用いて計算する。

$n(\overline{B}) = n(U) - n(B)$

与えられた値を代入すると、

$n(\overline{B}) = 40 - 25 = 15$

(3) 補集合 $\overline{A \cup B}$ の要素の個数は、以下の公式を用いて計算する。

$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$

(1)で求めた $n(A \cup B) = 37$ を代入すると、

$n(\overline{A \cup B}) = 40 - 37 = 3$

(4) 補集合 $\overline{A \cap B}$ の要素の個数は、以下の公式を用いて計算する。

$n(\overline{A \cap B}) = n(U) - n(A \cap B)$

与えられた $n(A \cap B) = 6$ を代入すると、

$n(\overline{A \cap B}) = 40 - 6 = 34$

3. 最終的な答え

(1) $n(A \cup B) = 37$

(2) $n(\overline{B}) = 15$

(3) $n(\overline{A \cup B}) = 3$

(4) $n(\overline{A \cap B}) = 34$