図に示すように、A地点からB地点へ行く最短経路について、以下の2つの問いに答えます。 (1) A地点からB地点への最短経路は何通りあるか。 (2) A地点からP地点を経由してB地点への最短経路は何通りあるか。

1. 問題の内容

図に示すように、A地点からB地点へ行く最短経路について、以下の2つの問いに答えます。

(1) A地点からB地点への最短経路は何通りあるか。

(2) A地点からP地点を経由してB地点への最短経路は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) A地点からB地点への最短経路を考えます。右に5回、上に4回移動する必要があるので、合計9回の移動のうち、どちらを何回選ぶかを考えます。これは、9回の移動から右への移動5回を選ぶ組み合わせの数、つまり $\binom{9}{5}$ で求められます。

$\binom{9}{5} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 9 \times 2 \times 7 = 126$

(2) A地点からP地点を経由してB地点への最短経路を考えます。まずA地点からP地点への最短経路を求めます。右に2回、上に2回移動する必要があるので、合計4回の移動のうち、どちらを何回選ぶかを考えます。これは、4回の移動から右への移動2回を選ぶ組み合わせの数、つまり $\binom{4}{2}$ で求められます。

$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

次にP地点からB地点への最短経路を求めます。右に3回、上に2回移動する必要があるので、合計5回の移動のうち、どちらを何回選ぶかを考えます。これは、5回の移動から右への移動3回を選ぶ組み合わせの数、つまり $\binom{5}{3}$ で求められます。

$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

A地点からP地点を経由してB地点への最短経路は、A地点からP地点への最短経路の数とP地点からB地点への最短経路の数を掛け合わせたものになります。

$6 \times 10 = 60$

3. 最終的な答え

(1) 126通り

(2) 60通り