与えられた画像の数学の問題は、論理学と集合論に関するものです。具体的には、論理式が真理値表を用いて等しいことを示す問題、命題がトートロジーであることを示す問題、命題の成立を判定する問題、命題の否定命題を作成する問題、集合の包含関係を証明する問題が含まれています。

1. 問題の内容

与えられた画像の数学の問題は、論理学と集合論に関するものです。具体的には、論理式が真理値表を用いて等しいことを示す問題、命題がトートロジーであることを示す問題、命題の成立を判定する問題、命題の否定命題を作成する問題、集合の包含関係を証明する問題が含まれています。

2. 解き方の手順

それぞれの問題について、以下のように解いていきます。

* 問4.1：真理値表を作成し、左辺と右辺の真理値が一致することを確認します。例えば、(1)の場合、A, B, Cのすべての真理値の組み合わせについて、A∧(B∨C)と(A∧B)∨(A∧C)の真理値を計算し、比較します。

* 問4.2：トートロジーであることを示すには、真理値表を作成し、命題が常に真になることを確認します。例えば、(1)の場合、AとBのすべての真理値の組み合わせについて、A∧B ⇒ A の真理値を計算し、常に真になることを確認します。または、同値変形を行います。

* 問4.3：命題が成立するかどうかを判定するには、真理値表を作成するか、論理的な推論を行います。例えば、(1)の場合、AとBのすべての真理値の組み合わせについて、(A ⇒ B)と(¬B ⇒ ¬A)の真理値を計算し、一致すれば成立、そうでなければ成立しません。

* 問4.4：否定命題を作成するには、元の命題を否定します。例えば、(1)の場合、「x < 2 かつ x > 1」の否定は「x ≥ 2 または x ≤ 1」となります。

* 問4.5：集合の包含関係を証明するには、集合の要素に関する議論を行います。例えば、(1)の場合、「A ⊂ B ⇒ Bᶜ ⊃ Aᶜ」を示すには、x ∈ Aᶜ ならば x ∈ Bᶜ であることを示す必要があります。x ∈ Aᶜ は x ∉ A を意味し、A ⊂ B より x ∉ B であり、x ∈ Bᶜ となります。逆も同様に示します。

3. 最終的な答え

問題が多岐にわたるため、それぞれの問題に対する解答を以下に示します。

* 問4.1

* (1) 真理値表を用いることで、A∧(B∨C) ≡ (A∧B)∨(A∧C)が成り立つことが示せます。（分配法則）

* (2) 真理値表を用いることで、A∨(B∧C) ≡ (A∨B)∧(A∨C)が成り立つことが示せます。（分配法則）

* 問4.2

* (1) A∧B ⇒ A はトートロジーです。 ($A \land B$ が真ならば、$A$ は真であるため)

* (2) (A ⇒ B) ∨ (A ∧ (¬B)) はトートロジーです。

* AならばB　または　AかつBでない。これはAならば、必ずどちらか一方が真になるのでトートロジーです。

* (3) ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C) はトートロジーです。（推移律）

* 問4.3

* (1) (A ⇒ B) ≡ (¬B ⇒ ¬A) は成立します。（対偶）

* (2) (¬A ⇒ B) ≡ (¬B ⇒ A) は成立しません。

* (3) (A ⇒ B) ≡ (B ⇒ A) は成立しません。

* (4) (A ⇒ B) ≡ (¬A ⇒ ¬B) は成立しません。

* 問4.4

* (1) x ≥ 2 または x ≤ 1

* (2) x < 4 かつ (x ≤ -1 または x ≥ 5)

* (3) 0 ≤ x ≤ 1 を満たすある x に対して、x² - 2ax + 1 < 0 が成り立つ。

* (4) 集合I = {x | -1 < x < 1} に属するすべての元に対して、-x² - 2bx + b ≤ 0 が成り立つ。

* 問4.5

* (1) A ⊂ B ⇔ Bᶜ ⊃ Aᶜ

* (2) A ⊂ B ⇒ A ∪ C ⊂ B ∪ C

* (3) A ⊂ B ⇒ A ∩ C ⊂ B ∩ C

* (4) A ⊂ C かつ B ⊂ C ⇒ A ∪ B ⊂ C

* (5) A ∪ B = A ⇒ B ⊂ A

* (6) A ∩ B = A ⇒ A ⊂ B

* (7) (A ∪ B) ∩ A = A