全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ と、その部分集合 $A = \{1, 2, 3\}$、$B = \{3, 6\}$ が与えられています。以下の集合を求める問題です。 (1) $\overline{B}$、 $\overline{B}^-$ (2) $A \cap \overline{B}$、 $A \cap B^-$ (3) $\overline{A} \cap B$、 $\overline{A} \cap B^-$ (4) $A \cup \overline{B}$、 $A \cup B^-$ (5) $\overline{A \cap B}$、 $\overline{A \cap B}^-$ (6) $\overline{A} \cap \overline{B}$、 $\overline{A \cap B}^-$

## 練習8の問題

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ と、その部分集合 $A = \{1, 2, 3\}$、$B = \{3, 6\}$ が与えられています。以下の集合を求める問題です。

(1) $\overline{B}$、 $\overline{B}^-$

(2) $A \cap \overline{B}$、 $A \cap B^-$

(3) $\overline{A} \cap B$、 $\overline{A} \cap B^-$

(4) $A \cup \overline{B}$、 $A \cup B^-$

(5) $\overline{A \cap B}$、 $\overline{A \cap B}^-$

(6) $\overline{A} \cap \overline{B}$、 $\overline{A \cap B}^-$

2. 解き方の手順

各集合を求める手順は以下の通りです。

(1) $\overline{B}$ は、全体集合 $U$ から $B$ の要素を除いた集合です。

$B^-$はBのことだと仮定して進めます。

$\overline{B} = U - B = \{1, 2, 4, 5\}$

$B^-=B= \{3,6\}$

(2) $A \cap \overline{B}$ は、$A$ と $\overline{B}$ の共通部分です。

$A \cap \overline{B} = \{1, 2, 3\} \cap \{1, 2, 4, 5\} = \{1, 2\}$

$A \cap B^-$ は、$A$ と $B^-$の共通部分です。

$A \cap B^-=A \cap B= \{1, 2, 3\} \cap \{3,6\}= \{3\}$

(3) $\overline{A}$ は、全体集合 $U$ から $A$ の要素を除いた集合です。

$\overline{A} = U - A = \{4, 5, 6\}$

$\overline{A} \cap B$ は、$\overline{A}$ と $B$ の共通部分です。

$\overline{A} \cap B = \{4, 5, 6\} \cap \{3, 6\} = \{6\}$

$\overline{A} \cap B^-$ は、$\overline{A}$ と $B^-$の共通部分です。

$\overline{A} \cap B^-=\overline{A} \cap B=\{4, 5, 6\} \cap \{3,6\} = \{6\}$

(4) $A \cup \overline{B}$ は、$A$ と $\overline{B}$ の和集合です。

$A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3\} \cup \{1, 2, 4, 5\} = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

$A \cup B^-$ は、$A$ と $B^-$の和集合です。

$A \cup B^-=A \cup B= \{1, 2, 3\} \cup \{3,6\}=\{1, 2, 3,6\}$

(5) $A \cap B$ は、$A$ と $B$ の共通部分です。

$A \cap B = \{1, 2, 3\} \cap \{3, 6\} = \{3\}$

$\overline{A \cap B}$ は、全体集合 $U$ から $A \cap B$ の要素を除いた集合です。

$\overline{A \cap B} = U - (A \cap B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} - \{3\} = \{1, 2, 4, 5, 6\}$

$\overline{A \cap B}^-$は$\overline{A \cap B}$のことだと仮定して進めます。

$\overline{A \cap B}^-=\overline{A \cap B}=\{1, 2, 4, 5, 6\}$

(6) $\overline{A} \cap \overline{B}$ は、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の共通部分です。

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{4, 5, 6\} \cap \{1, 2, 4, 5\} = \{4, 5\}$

$\overline{A \cap B}^-$は$\overline{A \cap B}$のことだと仮定して進めます。

$\overline{A \cap B}^-=\overline{A \cap B}=\{1, 2, 4, 5, 6\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$, $B^-=\{3, 6\}$

(2) $A \cap \overline{B} = \{1, 2\}$, $A \cap B^-=\{3\}$

(3) $\overline{A} \cap B = \{6\}$, $\overline{A} \cap B^-=\{6\}$

(4) $A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $A \cup B^-=\{1, 2, 3, 6\}$

(5) $\overline{A \cap B} = \{1, 2, 4, 5, 6\}$, $\overline{A \cap B}^-=\{1, 2, 4, 5, 6\}$

(6) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{4, 5\}$, $\overline{A \cap B}^-=\{1, 2, 4, 5, 6\}$