全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ の部分集合 $A = \{1, 2, 3\}$ と $B = \{3, 6\}$ について、以下の集合を求める。 (1) $\overline{B}$ (2) $A \cap \overline{B}$ (3) $\overline{A} \cap B$ (4) $A \cup \overline{B}$ (5) $\overline{A \cap B}$ (6) $\overline{A \cup B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ の部分集合 $A = \{1, 2, 3\}$ と $B = \{3, 6\}$ について、以下の集合を求める。

(1) $\overline{B}$

(2) $A \cap \overline{B}$

(3) $\overline{A} \cap B$

(4) $A \cup \overline{B}$

(5) $\overline{A \cap B}$

(6) $\overline{A \cup B}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{B}$ は、全体集合 $U$ から $B$ の要素を取り除いた集合である。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ かつ $B = \{3, 6\}$ より、

$\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$

(2) $A \cap \overline{B}$ は、$A$ と $\overline{B}$ の共通部分である。

$A = \{1, 2, 3\}$ かつ $\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$ より、

$A \cap \overline{B} = \{1, 2\}$

(3) $\overline{A} \cap B$ を求める。まず $\overline{A}$ を求める。

$A = \{1, 2, 3\}$ より、

$\overline{A} = \{4, 5, 6\}$

よって、

$\overline{A} \cap B = \{4, 5, 6\} \cap \{3, 6\} = \{6\}$

(4) $A \cup \overline{B}$ は、$A$ と $\overline{B}$ の和集合である。

$A = \{1, 2, 3\}$ かつ $\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$ より、

$A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

(5) $\overline{A \cap B}$ を求める。まず $A \cap B$ を求める。

$A = \{1, 2, 3\}$ かつ $B = \{3, 6\}$ より、

$A \cap B = \{3\}$

よって、

$\overline{A \cap B} = \{1, 2, 4, 5, 6\}$

(6) $\overline{A \cup B}$ を求める。まず $A \cup B$ を求める。

$A = \{1, 2, 3\}$ かつ $B = \{3, 6\}$ より、

$A \cup B = \{1, 2, 3, 6\}$

よって、

$\overline{A \cup B} = \{4, 5\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$

(2) $A \cap \overline{B} = \{1, 2\}$

(3) $\overline{A} \cap B = \{6\}$

(4) $A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

(5) $\overline{A \cap B} = \{1, 2, 4, 5, 6\}$

(6) $\overline{A \cup B} = \{4, 5\}$