HOKKAIDOの8文字を横1列に並べて順列を作る問題です。 (1) 順列の総数を求めます。 (2) Kは隣り合うが、Oは隣り合わない場合の数を求めます。

1. 問題の内容

HOKKAIDOの8文字を横1列に並べて順列を作る問題です。

(1) 順列の総数を求めます。

(2) Kは隣り合うが、Oは隣り合わない場合の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 順列の総数

HOKKAIDOの8文字のうち、Oが2つあります。したがって、順列の総数は、

$8! / 2! = (8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) / (2 \times 1) = 40320 / 2 = 20160$

(2) Kは隣り合うが、Oは隣り合わない

まず、Kを1つの文字とみなして、Kとそれ以外の6文字（H, A, I, D）および2つのOの合計7文字を並べます。ただし、2つのOは隣り合わないように並べます。

まずKを1つとみなして並び替える対象を7文字と考えます。(K=KK)　まずH, A, I, D, K(2つ)を並べます.

H A I D KKの５文字を並べる順列は5!= 120通りあります。

次にOをH, A, I, D, KKの間に挟むことを考えます。Oを置ける場所は、5文字の両端と間なので6箇所です。Oは2つあるので、Oを置く場所は6箇所から2箇所選ぶ組み合わせになります。ただしOは隣り合わないので、順番は考えません。

よって、Oをおける場所の選び方は$_{6}C_{2}=15通りです。

さらにOが隣り合わない様に並び替えます。これは余事象を考えます。

全事象は6個の中から2つ選ぶので、$_{6}P_{2}=6 \times 5 = 30$通りです。Oが隣り合うのは5通りなので、30-5=25通り。よって$_{6}P_{2}$/2 =15通りとなります。

したがって並び方の総数は $5! \times _{6}C_{2} = 120 \times 15=1800$となります。

HOKKAIDOにおいて、Oが2つあります。これを考慮して計算します。

O同士が隣り合わないようにするには、まずK以外の文字（H, K, K, A, I, D）を並べます。これは6! = 720通り。ただしKが2つあるので、720 / 2! = 360通り。

次に、OをH, K, K, A, I, Dの間に配置します。これらの6文字の間または両端にOを配置するので、Oの配置場所は7箇所あります。2つのOが隣り合わないように2箇所選ぶ方法は $_{7}C_{2}=21$通り。

したがって、Kが隣り合い、Oが隣り合わない並べ方は$360 \times 15$通りとなります。

$=20160 - (8! / 2! \times \frac{7 \times 6}{2 \times 1})$

HOKKAIDOの8文字の中でKが隣り合うのはKを一つと考えて７文字の並び方と考えることができます。その上でOが隣り合わない条件を加味して数える必要があります。

まず、Oが2つあります。 Oが隣り合わないということは、O以外の文字の間にOを入れる必要があります。

Kを一つとして、他の文字H,A,I,Dを並べます。その数は４！となります。

４文字を並べると５つの隙間ができます。その隙間にOを入れるのですが、Oは隣り合わないという条件があるので、５つの隙間から２つを選ぶことになります。その選び方は、５C２=１０通りです。

したがって４！×５C２=２４×１０=２４０通りです。

Kを隣り合うようにするので、Kを一つと考えて他の文字H,A,I,D,O,Oと並べるという事になります。それは合計６！です。

ただしOが隣り合わない、という条件があるのでOを上記のように並べる事になります。

３．最終的な答え

(1) 20160

(2) 計算中

```python

import math

def solve():

# (1) Total permutations of HOKKAIDO

total_permutations = math.factorial(8) // math.factorial(2) # Divide by 2! to account for the two O's

print(f"(1) Total permutations: {total_permutations}")

# (2) K's are together, O's are not together

# First, treat KK as a single unit.

# Arrange H, A, I, D and KK, which gives 5! = 120 permutations.

# Now we have 6 slots where we can put the two O's (before H, between H and A, etc.)

# We need to choose 2 of these 6 slots such that the O's are not adjacent.

# Calculate the number of ways to place the O's such that they are not adjacent.

# This is equivalent to choosing 2 positions from 6 with at least one position between them.

# Total ways to choose 2 positions from 6 is 6C2 =

1

5. # Ways to choose 2 adjacent positions from 6 is

5. (12, 23, 34, 45, 56)

# So, ways to choose 2 non-adjacent positions is 15 - 5 =

1

0.

# Therefore, the total number of permutations is 5! * (number of ways to place O's non-adjacently)

# total = 120 * 10 = 1200

# Correct Calculation:

# Treat KK as a block. Arrange H, A, I, D, KK, O, O. Consider placements where O's are NOT together.

# Arrange H, A, I, D, KK = 5! = 120

# We have 6 gaps (before H, between, after KK).

# Choose 2 gaps out of 6 so that we can place 2 Os.

# Number of ways for O's NOT to be together = (Total Ways) - (Together)

# 6C2 =

1

5. Together =

5. Not Together = 15 - 5 =

1

0.

# So, total is 120 * 10 =

1

2

0

0.

# Alternatively,

# Consider the remaining 6 positions (excluding O, O)

# number of permutation where both K are together and both O are not together.

kk_permutations = math.factorial(7)

#Place the other elements in 7 spots

place_others = (7*6*5*4*3*2*1)

ans=1200

print(f"(2) K's together, O's not together: {ans}")

solve()

```

1. 問題の内容

HOKKAIDOの8文字を並べる問題。

(1) 並べ方の総数を求める。

(2) Kが隣り合い、Oが隣り合わない並べ方を求める。

2. 解き方の手順

(1) 全ての文字を区別すると8!通りの並べ方がある。しかし、Oが2つあるため、同じ並びが2!通りずつ重複して数えられている。したがって、並べ方の総数は 8! / 2! = 20160 通り。

(2) まず、Kが隣り合うようにするため、2つのKをまとめて「KK」という1つの文字として考える。

次に、Oが隣り合わないようにするため、O以外の文字（H, A, I, D, KK）を並べる。これは5! = 120通り。

次に、Oをこれらの文字の間または両端に入れる。Oを入れる場所は6箇所あり、Oは2つあるので、選び方は6C2 = 15通り。

以上より、並べ方は120 * 10 = 1200通り。

3. 最終的な答え

(1) 20160

(2) 1200