立方体の6面を、指定された色をすべて使って塗り分ける方法の数を求める問題です。隣り合う面は異なる色で塗る必要があります。 (1) 赤、白、黒、緑、青、橙の6色を使う場合 (2) 赤、白、黒、緑、青の5色を使う場合

1. 問題の内容

立方体の6面を、指定された色をすべて使って塗り分ける方法の数を求める問題です。隣り合う面は異なる色で塗る必要があります。

(1) 赤、白、黒、緑、青、橙の6色を使う場合

(2) 赤、白、黒、緑、青の5色を使う場合

2. 解き方の手順

(1) 6色を使う場合

立方体の上面の色を固定します。例えば赤色に固定します。

底面の色は、赤色以外の5色から1色選ぶことができます。よって5通りの選び方があります。

側面の4面は、残りの4色を使って塗り分けます。円順列のように考え、$(4-1)! = 3! = 6$ 通りの塗り方があります。

したがって、6色すべてを使う場合の塗り分け方は $5 \times 6 = 30$ 通りです。

(2) 5色を使う場合

5色で6面を塗るには、必ず1色を2つの面に塗る必要があります。

まず、2回使う色を5色の中から選びます。これは5通りです。

選んだ色で向かい合う面を塗る場合と、隣り合う面を塗る場合で場合分けします。

(i) 選んだ色で向かい合う面を塗る場合

向かい合う面を塗る色の組み合わせは3通りあります（上面と底面、前後面、左右面）。

残りの4面は4色で塗ることになります。

まず、上面と底面を同じ色で塗ると固定します。

次に、残りの4面を円順列のように考えると、$(4-1)! = 3! = 6$通りの塗り方があります。

したがって、この場合の塗り方は $5 \times 6 = 30$ 通りです。

(ii) 選んだ色で隣り合う面を塗る場合

2回使う色を決めます。5通りの選び方があります。

その2色を隣り合う面に塗ります。まず、1つの面を固定し、隣の面を塗る方法が1通りです。

残りの4面は、4色で塗ることになります。残りの4色を並べる方法は、 $(4-1)! = 3! = 6$ 通りです。

この場合、隣り合う面に同じ色を塗ると、立方体を回転させても同じ塗り方になる場合がありますが、これはすでに数えられている可能性があります。

しかし、隣接する面を同じ色で塗るパターンを考えると、最初の1色を固定して、次の面を塗る方法も1通りしかありません。残りの4色を並べる方法は、$3! = 6$ 通りです。したがって、$5 \times 6 = 30$ 通りです。

もう一つの考え方として、

まず、5色の中から1色を選び、それを2つの面に塗ることを考えます。5通りの選び方があります。

次に、立方体の6面のうち、どの2つの面を同じ色で塗るか考えます。

(a) 向かい合う2面を同じ色で塗る場合: 3通りの選び方があります。

(b) 隣り合う2面を同じ色で塗る場合: 12通りの選び方があります（6つの面それぞれに4つの隣接する面があるため、6*4/2=12）。

残りの4面は4色で塗ります。これは$3! = 6$通りです。

(a)の場合：$5 \times 3 \times 6 = 90$

(b)の場合：$5 \times 6 \times 6 = 180$

これらを足し合わせて、$90+180=270$

しかし、これでは重複があるので違うと考えられます。

30通りが妥当でしょう。

3. 最終的な答え

(1) 30通り

(2) 30通り