HOKKAIDOという8文字の文字列について、以下の2つの問題を解く。 (1) 8文字を横1列に並べて順列を作る場合の総数を求める。 (2) Kは隣り合うが、Oは隣り合わない順列の総数を求める。

1. 問題の内容

HOKKAIDOという8文字の文字列について、以下の2つの問題を解く。

(1) 8文字を横1列に並べて順列を作る場合の総数を求める。

(2) Kは隣り合うが、Oは隣り合わない順列の総数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

HOKKAIDOの8文字を並べる。ただし、Oが2つある。したがって、同じものを含む順列の総数を計算する。8文字すべてが異なるとすれば、$8!$通りの並べ方があるが、Oが2つあるので、$2!$で割る必要がある。

$\frac{8!}{2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 20160$

(2)

まず、Kを1つのまとまりとして考える。次に、Oが隣り合わないように並べる。Kが隣り合うという条件から、Kをまとめて考え、残りの文字を並べる。

Kを1つの文字として扱い、他の文字H, A, I, D, O, O と合わせて7つの「文字」を並べる。ただし、Oが2つあるので、

$\frac{7!}{2!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$

次に、Oが隣り合わないようにする。まずはK以外の5文字 H, A, I, D を並べると、5! = 120 通り。

次に、この5文字の間と両端の6箇所にOを配置する。

Kが隣り合って並んでいること、Oが隣り合わないことを考慮する。

2つのOを並べることができない。

Kを一つにまとめて7文字として扱うことを考える。Oは隣り合わないので、Oを2つ以外を先に並べることを考えます。

HOKKAIDOのうちOを覗いたH,K,K,A,I,Dの6文字を並べる。Kは隣り合うので、KKをひとまとめにして5文字を並べると、並べ方は5!通り。このときKKは一つにまとまっているので、並べ方は120通り。KKを含めた6文字について、この隙間に入れるOを2つ選ぶ。Oは隣り合わないので、6箇所のうち2箇所を選ぶ必要がある。

6箇所から2箇所を選ぶ選び方は、${ }_6 C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通り

したがって、$120 \times 15 = 1800$

Kが隣り合って、Oが隣り合わないような並べ方は、$1800$通り。

3. 最終的な答え

(1) 20160

(2) 1800