この問題は、次の条件を満たす5桁の自然数の個数を求めるものです。 (1) 5桁の各桁が1または2で、1と2の両方が使われている。 (2) 5桁の各桁が1, 2, 3のいずれかで、1, 2, 3のすべてが使われている。

1. 問題の内容

この問題は、次の条件を満たす5桁の自然数の個数を求めるものです。

(1) 5桁の各桁が1または2で、1と2の両方が使われている。

(2) 5桁の各桁が1, 2, 3のいずれかで、1, 2, 3のすべてが使われている。

2. 解き方の手順

(1) 5桁の各桁が1または2であるような自然数は、$2^5 = 32$個あります。このうち、すべての桁が1であるものは1個、すべての桁が2であるものも1個です。したがって、1と2の両方が使われている5桁の自然数の個数は、

$32 - 1 - 1 = 30$個となります。

(2) 5桁の各桁が1, 2, 3のいずれかであるような自然数は、$3^5 = 243$個あります。

このうち、1と2しか使われていないものは、$2^5 - 2 = 30$個。1と3しか使われていないものも、$2^5 - 2 = 30$個。2と3しか使われていないものも、$2^5 - 2 = 30$個。1だけが使われているものは1個、2だけが使われているものも1個、3だけが使われているものも1個です。

したがって、1, 2, 3のすべてが使われている5桁の自然数の個数は、

$3^5 - (2^5 - 1) \times 3 - 3 = 243 - 31 \times 3 - 3 = 243 - 93 - 3 = 147$個となります。

包除原理を用いて計算することもできます。

$N(1 \cup 2 \cup 3) = N(1) + N(2) + N(3) - N(1 \cap 2) - N(1 \cap 3) - N(2 \cap 3) + N(1 \cap 2 \cap 3)$

求める個数は、$3^5 - ( N(1,2) + N(1,3) + N(2,3) ) + ( N(1) + N(2) + N(3) )$

$= 3^5 - 3(2^5) + 3(1^5) = 243 - 3(32) + 3 = 243 - 96 + 3 = 150$

1,2,3のすべてが使われている必要があるため、上記の計算から1,2のみ、1,3のみ、2,3のみで構成されている場合を除く必要があります。また、1のみ、2のみ、3のみで構成されている場合も除く必要があります。

したがって、$3^5 - (3(2^5-2) + 3) = 243 - 3(30) - 3 = 243 - 90 - 3 = 150$個となります。

上記の解法では、$2^5-2$は、1と2しか使わない場合から1のみまたは2のみで構成されている場合を引いたものです。同様に、1のみ、2のみ、3のみの場合は$1^5 = 1$です。

3. 最終的な答え

(1) 30個

(2) 150個