$A, B, C$ を空集合ではない集合とし、$A$ と $B$ は対等、つまり $A \sim B$ とする。このとき、以下の2つの命題が正しければ証明し、正しくない場合は反例を挙げよ。 (1) $\mathcal{P}(A) \sim \mathcal{P}(B)$. ここで $\mathcal{P}(A)$ は $A$ のベキ集合とする。 (2) $A - C \sim B - C$. ここで $A - C$ は $A$ と $C$ の差集合とする。

1. 問題の内容

$A, B, C$ を空集合ではない集合とし、$A$ と $B$ は対等、つまり $A \sim B$ とする。このとき、以下の2つの命題が正しければ証明し、正しくない場合は反例を挙げよ。

(1) $\mathcal{P}(A) \sim \mathcal{P}(B)$. ここで $\mathcal{P}(A)$ は $A$ のベキ集合とする。

(2) $A - C \sim B - C$. ここで $A - C$ は $A$ と $C$ の差集合とする。

2. 解き方の手順

(1) $A \sim B$ ならば $\mathcal{P}(A) \sim \mathcal{P}(B)$ を証明する。

$A \sim B$ なので、全単射 $f: A \to B$ が存在する。

$\mathcal{P}(A)$ の要素 $X \subseteq A$ に対して、関数 $g: \mathcal{P}(A) \to \mathcal{P}(B)$ を $g(X) = \{f(x) \mid x \in X\}$ と定義する。

$g$ が全単射であることを示す。

(i) $g$ が単射であること:

$X_1, X_2 \in \mathcal{P}(A)$ に対して、$g(X_1) = g(X_2)$ とする。このとき、$X_1 = X_2$ であることを示す。

$y \in g(X_1)$ ならば、ある $x_1 \in X_1$ が存在して $y = f(x_1)$. また、$g(X_1) = g(X_2)$ なので、$y \in g(X_2)$. よって、ある $x_2 \in X_2$ が存在して $y = f(x_2)$.

$f$ は単射なので、$f(x_1) = f(x_2)$ ならば $x_1 = x_2$. よって、$x_1 \in X_2$ となり、$X_1 \subseteq X_2$.

同様に、$X_2 \subseteq X_1$ も示せるので、$X_1 = X_2$.

したがって、$g$ は単射である。

(ii) $g$ が全射であること:

任意の $Y \in \mathcal{P}(B)$ に対して、$X \in \mathcal{P}(A)$ であって $g(X) = Y$ となるものが存在することを示す。

$X = \{f^{-1}(y) \mid y \in Y\}$ とすると、$X \subseteq A$ なので、$X \in \mathcal{P}(A)$.

このとき、$g(X) = \{f(x) \mid x \in X\} = \{f(f^{-1}(y)) \mid y \in Y\} = \{y \mid y \in Y\} = Y$.

したがって、$g$ は全射である。

(i), (ii) より、$g$ は全単射なので、$\mathcal{P}(A) \sim \mathcal{P}(B)$.

(2) $A \sim B$ ならば $A - C \sim B - C$ が成り立つとは限らない。反例を示す。

$A = \{1, 2\}, B = \{3, 4\}, C = \{2, 4\}$ とする。

このとき、$A \sim B$. なぜなら、$f(1) = 3, f(2) = 4$ で定義される関数 $f: A \to B$ が全単射だからである。

$A - C = \{1\}$ であり、$B - C = \{3\}$ である。明らかに $A - C \sim B - C$.

次に、$C = A$ とすると、$A - C = \emptyset$ であり、$B - C = \{3, 4\} - \{1, 2\} = \{3, 4\}$.

$A-C = \emptyset$ と $B-C = \{3,4\}$ は対等ではない。なぜなら、$B-C$ は空集合ではないが、$A-C$ は空集合だからである。

したがって、$A-C \sim B-C$ とは限らない。

3. 最終的な答え

(1) $\mathcal{P}(A) \sim \mathcal{P}(B)$ は正しい。

(2) $A - C \sim B - C$ は正しくない。反例：$A = \{1, 2\}, B = \{3, 4\}, C = A = \{1, 2\}$