大人3人と子供5人が1列に並ぶときの並び方の数を、以下の条件ごとに求める問題です。 (1) 8人が1列に並ぶ。 (2) 大人3人が続いて並ぶ。 (3) 両端が子供である。 (4) 少なくとも一端に大人が来る。 (5) どの大人も隣り合わない。

1. 問題の内容

大人3人と子供5人が1列に並ぶときの並び方の数を、以下の条件ごとに求める問題です。

(1) 8人が1列に並ぶ。

(2) 大人3人が続いて並ぶ。

(3) 両端が子供である。

(4) 少なくとも一端に大人が来る。

(5) どの大人も隣り合わない。

2. 解き方の手順

(1) 8人が1列に並ぶ場合

8人の並び方は単純な順列なので、$8!$ で計算できます。

$8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$ 通り

(2) 大人3人が続いて並ぶ場合

大人3人を1つのグループとして考えます。すると、1つのグループ（大人3人）と子供5人の合計6つを並べることになります。

6つの並び方は $6!$ 通りです。

また、大人3人のグループ内での並び方は $3!$ 通りです。

よって、全体の並び方は $6! \times 3!$ で計算できます。

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

$720 \times 6 = 4320$ 通り

(3) 両端が子供である場合

両端に子供を並べる方法は、$5 \times 4 = 20$ 通りです。

残りの6人（大人3人、子供3人）の並び方は $6!$ 通りです。

よって、全体の並び方は $20 \times 6!$ で計算できます。

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

$20 \times 720 = 14400$ 通り

(4) 少なくとも一端に大人が来る場合

これは、両端が子供でない並び方の総数を求める問題です。まず、全ての並び方から両端が子供である並び方を引きます。

全ての並び方は、$8! = 40320$ 通りです。

両端が子供である並び方は、(3)で求めた $14400$ 通りです。

よって、少なくとも一端に大人が来る並び方は $40320 - 14400 = 25920$ 通りです。

(5) どの大人も隣り合わない場合

まず、子供5人を並べます。これは $5!$ 通りです。

次に、子供5人の間の6つのスペース（両端を含む）から3つを選んで、大人を配置します。

スペースの選び方は、$_6C_3$ 通りです。

大人3人の並び方は $3!$ 通りです。

よって、全体の並び方は $5! \times _6C_3 \times 3!$ で計算できます。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

$_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

$120 \times 20 \times 6 = 14400$ 通り

3. 最終的な答え

(1) 40320 通り

(2) 4320 通り

(3) 14400 通り

(4) 25920 通り

(5) 14400 通り