自然数全体の集合を$U$とし、集合$A$, $B$をそれぞれ$A = \{n | n$ は 30 で割り切れない自然数$\}$、$B = \{n | n$ は 5 で割り切れない自然数$\}$と定義する。 (1) 自然数$n$が$A$に属することは、$n$が10で割り切れないための[7]である。 (2) 自然数$n$が$B$に属することは、$n$が15で割り切れないための[8]である。 [7]と[8]に当てはまるものを選択肢（①必要十分条件である、②必要条件であるが、十分条件ではない、③十分条件であるが、必要条件ではない、④必要条件でも十分条件でもない）から選ぶ。

1. 問題の内容

自然数全体の集合を$U$とし、集合$A$, $B$をそれぞれ$A = \{n | n$ は 30 で割り切れない自然数$\}$、$B = \{n | n$ は 5 で割り切れない自然数$\}$と定義する。

(1) 自然数$n$が$A$に属することは、$n$が10で割り切れないための[7]である。

(2) 自然数$n$が$B$に属することは、$n$が15で割り切れないための[8]である。

[7]と[8]に当てはまるものを選択肢（①必要十分条件である、②必要条件であるが、十分条件ではない、③十分条件であるが、必要条件ではない、④必要条件でも十分条件でもない）から選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) 自然数$n$が$A$に属すること（つまり、$n$が30で割り切れない）が、$n$が10で割り切れないための条件について考える。

$n$が30で割り切れない $\implies$ $n$が10で割り切れないか？

$n$が30で割り切れないならば、$n$は10で割り切れないとは限らない。例えば、$n = 15$は30で割り切れないが、10でも割り切れない。しかし、$n = 20$は30で割り切れないが、10で割り切れる。したがって、これは十分条件ではない。

$n$が10で割り切れない $\implies$ $n$が30で割り切れないか？

$n$が10で割り切れないならば、$n$は30で割り切れない。なぜなら、もし$n$が30で割り切れるなら、$n = 30k$ （$k$は自然数）と書ける。このとき、$n = 10(3k)$なので、$n$は10で割り切れる。これは仮定に矛盾するので、$n$は30で割り切れない。したがって、これは必要条件である。

よって、(1)は必要条件であるが、十分条件ではないので、②が答え。

(2) 自然数$n$が$B$に属すること（つまり、$n$が5で割り切れない）が、$n$が15で割り切れないための条件について考える。

$n$が5で割り切れない $\implies$ $n$が15で割り切れないか？

$n$が5で割り切れないならば、$n$は15で割り切れないとは限らない。例えば、$n = 1$は5で割り切れないが、15でも割り切れない。しかし、$n = 20$は5で割り切れないが、15では割り切れないので、成立する。しかし、$n = 5$の倍数でないなら$n=6$のとき、$n$は15で割り切れない。

$n$が15で割り切れない $\implies$ $n$が5で割り切れないか？

$n$が15で割り切れないならば、$n$は5で割り切れない。なぜなら、もし$n$が5で割り切れるなら、$n = 5k$ （$k$は自然数）と書ける。もし$k$が3の倍数なら、$k = 3m$（$m$は自然数）と書けるので、$n = 5(3m) = 15m$となり、$n$は15で割り切れる。しかし$n$は15で割り切れないので$n$は5で割り切れない。

したがって、(2)は必要条件であるが、十分条件ではないので、②が答え。

3. 最終的な答え

7: ②

8: ②