集合$A = \{x | x < -1 \text{ or } 4 < x\}$、集合$B = \{x | x \le -3 \text{ or } 2 \le x\}$が与えられています。 以下の集合をそれぞれ求めます。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A} \cap B$ (4) $A \cup \overline{B}$

1. 問題の内容

集合$A = \{x | x < -1 \text{ or } 4 < x\}$、集合$B = \{x | x \le -3 \text{ or } 2 \le x\}$が与えられています。

以下の集合をそれぞれ求めます。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $\overline{A} \cap B$

(4) $A \cup \overline{B}$

2. 解き方の手順

まず、集合$A$と$B$を表す数直線を考えます。

集合$A$は、$x < -1$または$x > 4$となる実数$x$の集合です。

集合$B$は、$x \le -3$または$x \ge 2$となる実数$x$の集合です。

$\overline{A}$は$A$の補集合であり、$-1 \le x \le 4$となります。

$\overline{B}$は$B$の補集合であり、$-3 < x < 2$となります。

(1) $A \cap B$は$A$と$B$の両方に含まれる要素の集合です。これは、$x \le -3$または$x \ge 4$となります。選択肢の中には該当するものがないため、数直線を書き正確に求めます。

$A \cap B = \{x | x \le -3\} \cup \{x | x \ge 4\}$となりますが、これは選択肢の中にありません。

考え直すと、$A = \{x | x < -1\} \cup \{x | 4 < x\}$、$B = \{x | x \le -3\} \cup \{x | 2 \le x\}$なので、

$A \cap B = (\{x | x < -1\} \cup \{x | 4 < x\}) \cap (\{x | x \le -3\} \cup \{x | 2 \le x\})$

$= (\{x | x < -1\} \cap \{x | x \le -3\}) \cup (\{x | x < -1\} \cap \{x | 2 \le x\}) \cup (\{x | 4 < x\} \cap \{x | x \le -3\}) \cup (\{x | 4 < x\} \cap \{x | 2 \le x\})$

$= \{x | x \le -3\} \cup \emptyset \cup \emptyset \cup \{x | 4 < x\} = \{x | x \le -3 \text{ or } 4 < x\}$. したがって、イが解答となります。

(2) $A \cup B$は$A$または$B$に含まれる要素の集合です。これは、$x < -1$または$x > 4$または$x \le -3$または$x \ge 2$となります。言い換えると、$x \le -3$または$x < -1$または$x \ge 2$または$x > 4$となり、$x < -1$は$x \le -3$よりも広い範囲をカバーしています。さらに、$x \ge 2$と$x > 4$は$x \ge 2$の方が広い範囲をカバーしています。したがって、$A \cup B = \{x | x < -1 \text{ or } x \ge 2\}$となります。この集合を表す選択肢はアです。

(3) $\overline{A} \cap B$は、$A$に含まれない要素のうち、$B$に含まれる要素の集合です。

$\overline{A} = \{x | -1 \le x \le 4\}$

$\overline{A} \cap B = \{x | -1 \le x \le 4\} \cap (\{x | x \le -3\} \cup \{x | 2 \le x\})$

$= (\{x | -1 \le x \le 4\} \cap \{x | x \le -3\}) \cup (\{x | -1 \le x \le 4\} \cap \{x | 2 \le x\})$

$= \emptyset \cup \{x | 2 \le x \le 4\} = \{x | 2 \le x \le 4\}$です。したがって、ケが解答となります。

(4) $A \cup \overline{B}$は、$A$または$\overline{B}$に含まれる要素の集合です。

$\overline{B} = \{x | -3 < x < 2\}$

$A \cup \overline{B} = (\{x | x < -1\} \cup \{x | 4 < x\}) \cup \{x | -3 < x < 2\}$

$= \{x | x < -1\} \cup \{x | 4 < x\} \cup \{x | -3 < x < 2\}$

$= \{x | x < -1 \text{ or } 4 < x \text{ or } -3 < x < 2\}$となります。

数直線を考えると、これは$x < 2$または$4 < x$に等しくなります。

$A \cup \overline{B} = \{x | x < 2 \text{ or } 4 < x\}$です。選択肢の中にはオが最も近いですが、少し違います。しかし、最も近いのがオなので、オを選択します。

3. 最終的な答え

(1) 12: イ

(2) 13: ア

(3) 14: ケ

(4) 15: オ