全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ が与えられ、部分集合 $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ (2の倍数)、$B = \{3, 6, 9\}$ (3の倍数)、$C = \{4, 8\}$ (4の倍数) が定義されている。 以下の集合を求め、選択肢の中から適切な記号で答えなさい。 (1) $A \cup \overline{C}$ (2) $\overline{B} \cap C$ (3) $B \cup \overline{C}$ (4) $\overline{A} \cap B$ (5) $A \cap B \cap C$ (6) $A \cup B \cup C$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ が与えられ、部分集合 $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ (2の倍数)、$B = \{3, 6, 9\}$ (3の倍数)、$C = \{4, 8\}$ (4の倍数) が定義されている。

以下の集合を求め、選択肢の中から適切な記号で答えなさい。

(1) $A \cup \overline{C}$

(2) $\overline{B} \cap C$

(3) $B \cup \overline{C}$

(4) $\overline{A} \cap B$

(5) $A \cap B \cap C$

(6) $A \cup B \cup C$

2. 解き方の手順

まず、各集合の補集合を求める。

$\overline{A} = U - A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

$\overline{B} = U - B = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10\}$

$\overline{C} = U - C = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\}$

次に、各集合演算を行う。

(1) $A \cup \overline{C} = \{2, 4, 6, 8, 10\} \cup \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

(2) $\overline{B} \cap C = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10\} \cap \{4, 8\} = \{4, 8\}$

(3) $B \cup \overline{C} = \{3, 6, 9\} \cup \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\}$

(4) $\overline{A} \cap B = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cap \{3, 6, 9\} = \{3, 9\}$

(5) $A \cap B \cap C = \{2, 4, 6, 8, 10\} \cap \{3, 6, 9\} \cap \{4, 8\} = \{6\} \cap \{4, 8\} = \emptyset$

(6) $A \cup B \cup C = \{2, 4, 6, 8, 10\} \cup \{3, 6, 9\} \cup \{4, 8\} = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10\}$

選択肢と照らし合わせる。

(1) $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ は「シ」

(2) $\{4, 8\}$ は「ウ」

(3) $\{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\}$ は「サ」

(4) $\{3, 9\}$ は選択肢にない。$\{3, 6\}$ が最も近いので、これは問題文か選択肢に誤りがある可能性がある。$\{3, 9\}$ が正しければ、該当する選択肢はない。しかし、ここでは最も近い選択肢として「イ」を選ぶ。

(5) $\emptyset$ は「ア」

(6) $\{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10\}$ は「ケ」

3. 最終的な答え

(1) シ

(2) ウ

(3) サ

(4) イ

(5) ア

(6) ケ