問題は、集合の等式 $A \cap B = \overline{ \overline{A} \cup \overline{B}}$ が成り立つことを、ベン図を用いて確認することです。

1. 問題の内容

問題は、集合の等式 $A \cap B = \overline{ \overline{A} \cup \overline{B}}$ が成り立つことを、ベン図を用いて確認することです。

2. 解き方の手順

まず、左辺 $A \cap B$ をベン図で表します。これは集合 $A$ と集合 $B$ の共通部分です。

次に、右辺 $\overline{ \overline{A} \cup \overline{B}}$ をベン図で表します。

* $\overline{A}$ は集合 $A$ の補集合、つまり全体集合 $U$ から $A$ を除いた部分です。

* $\overline{B}$ は集合 $B$ の補集合、つまり全体集合 $U$ から $B$ を除いた部分です。

* $\overline{A} \cup \overline{B}$ は、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の和集合、つまり $\overline{A}$ と $\overline{B}$ の少なくとも一方に含まれる要素全体からなる集合です。

* $\overline{\overline{A} \cup \overline{B}}$ は、$\overline{A} \cup \overline{B}$ の補集合、つまり全体集合 $U$ から $\overline{A} \cup \overline{B}$ を除いた部分です。これは、全体集合から「Aでない部分」と「Bでない部分」の和集合を除いたものなので、結局「AかつB」の部分だけが残ります。

つまり、ベン図を用いて左辺と右辺をそれぞれ図示すると、両者が同じ領域を表すことが分かります。

3. 最終的な答え

ベン図を用いた結果、$A \cap B = \overline{ \overline{A} \cup \overline{B}}$ が成り立つことが確認できました。