与えられた式 $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ を展開し、簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ を展開し、簡略化せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b)(b+c)(c+a)$ を展開します。

\begin{align*} (a+b)(b+c)(c+a) &= (a+b)(bc+c^2+b^2+ab) \\ &= abc + ac^2 + ab^2 + a^2b + b^2c + bc^2 + b^3 + ab^2 \\ &= abc + a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + b^3 + c^3 \\ &= a^2(b+c) + b^2(a+c) + c^2(a+b) + 2abc \end{align*}

したがって、

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = a^2(b+c) + b^2(a+c) + c^2(a+b) + 2abc + abc = a^2(b+c) + b^2(a+c) + c^2(a+b) + 3abc$

ここで、$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$ となることを示します。

$(a+b+c)(ab+bc+ca) = a^2b+abc+ca^2+ab^2+b^2c+abc+abc+bc^2+c^2a = a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+3abc$.

したがって、

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$.

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)+abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$