$0 \le \alpha < 2\pi$, $0 \le \beta < 2\pi$, $0 \le \gamma < 2\pi$ のとき、次の式を $\cos \alpha$, $\cos \beta$, $\cos \gamma$ を用いてできるだけ簡単な式で表す問題です。 $$ \cos(\alpha + \beta + \gamma) + \cos(\alpha + \beta - \gamma) + \cos(\alpha - \beta + \gamma) + \cos(-\alpha + \beta + \gamma) $$

1. 問題の内容

$0 \le \alpha < 2\pi$, $0 \le \beta < 2\pi$, $0 \le \gamma < 2\pi$ のとき、次の式を $\cos \alpha$, $\cos \beta$, $\cos \gamma$ を用いてできるだけ簡単な式で表す問題です。

$$\cos(\alpha + \beta + \gamma) + \cos(\alpha + \beta - \gamma) + \cos(\alpha - \beta + \gamma) + \cos(-\alpha + \beta + \gamma)$$

2. 解き方の手順

まず、和積の公式 $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ を利用します。

最初の2項をまとめると

$$\cos(\alpha + \beta + \gamma) + \cos(\alpha + \beta - \gamma) = 2 \cos(\alpha + \beta) \cos \gamma$$

次の2項をまとめると、$\cos(-x) = \cos(x)$ より

$$\cos(\alpha - \beta + \gamma) + \cos(-\alpha + \beta + \gamma) = \cos(\alpha - \beta + \gamma) + \cos(\alpha - \beta - \gamma)$$

したがって

$$\cos(\alpha - \beta + \gamma) + \cos(-\alpha + \beta + \gamma) = 2 \cos(\beta + \gamma) \cos \alpha$$

式全体は

$$2 \cos(\alpha + \beta) \cos \gamma + 2 \cos(\beta + \gamma) \cos \alpha$$

再び和積の公式を使います。

$$= 2 (\cos(\alpha + \beta) \cos \gamma + \cos \alpha \cos (\beta + \gamma))$$

ここで、$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ より

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

$\cos(\beta + \gamma) = \cos \beta \cos \gamma - \sin \beta \sin \gamma$

よって

$$2(\cos \gamma (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) + \cos \alpha (\cos \beta \cos \gamma - \sin \beta \sin \gamma))$$

$$= 2(\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \cos \gamma \sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma )$$

$$= 2(2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \cos \gamma \sin \alpha \sin \beta - \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma )$$

これは簡単にできません。

$A+B= \alpha+\beta+\gamma, A-B=\alpha+\beta-\gamma$ から、 $A=\alpha+\beta, B=\gamma$

$A+B = \alpha-\beta+\gamma, A-B=-\alpha+\beta+\gamma$から、$A=\gamma-\beta, B=\alpha$

$$2 \cos(\alpha + \beta) \cos \gamma + 2 \cos(\gamma) \cos(\beta+\alpha) = 4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$$

3. 最終的な答え

$4 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$