関数 $f(x) = -x^2 + 2ax + 3$ (ただし、$0 \le x \le 2$) の最大値を、以下の3つの場合に分けて求めよ。 (1) $a \le 0$ のとき (2) $0 \le a \le 2$ のとき (3) $a \ge 2$ のとき

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^2 + 2ax + 3$ (ただし、$0 \le x \le 2$) の最大値を、以下の3つの場合に分けて求めよ。

(1) $a \le 0$ のとき

(2) $0 \le a \le 2$ のとき

(3) $a \ge 2$ のとき

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = -(x^2 - 2ax) + 3 = -(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 3 = -(x-a)^2 + a^2 + 3$

よって、軸は $x=a$ である。

(1) $a \le 0$ のとき

このとき、軸は $x \le 0$ にある。区間 $0 \le x \le 2$ では、$x=0$ で最大値をとる。

$f(0) = -0^2 + 2a(0) + 3 = 3$

(2) $0 \le a \le 2$ のとき

このとき、軸は区間 $0 \le x \le 2$ にある。よって、$x=a$ で最大値をとる。

$f(a) = -a^2 + 2a(a) + 3 = a^2 + 3$

(3) $a \ge 2$ のとき

このとき、軸は $x \ge 2$ にある。区間 $0 \le x \le 2$ では、$x=2$ で最大値をとる。

$f(2) = -2^2 + 2a(2) + 3 = -4 + 4a + 3 = 4a - 1$

3. 最終的な答え

(1) $a \le 0$ のとき、最大値 = 3

(2) $0 \le a \le 2$ のとき、最大値 = $a^2 + 3$

(3) $a \ge 2$ のとき、最大値 = $4a - 1$