30リットルの水が入っている水槽にA管から毎分 $a$ リットルの割合で水を入れ、水の量が80リットルになるとB管が開き毎分6リットルの割合で排水する。水の量が60リットルになるとB管は閉じる。グラフはA管から水を入れ始めてからの時間 $x$ （分）と水槽内の水の量 $y$ （リットル）の関係を表している。 (1) B管が最初に開いたのは、A管から水を入れ始めて何分後か。 (2) $a$, $b$ の値を求めよ。 (3) A管から水を入れ始めて20分たってから、その後再びB管が開くまで（水の量が再び80リットルになるまで）の間の $x$ と $y$ の関係式を求めよ。 (4) A管から水を入れ始めてから1時間の間に、B管は何回開くか。

1. 問題の内容

30リットルの水が入っている水槽にA管から毎分 $a$ リットルの割合で水を入れ、水の量が80リットルになるとB管が開き毎分6リットルの割合で排水する。水の量が60リットルになるとB管は閉じる。グラフはA管から水を入れ始めてからの時間 $x$ （分）と水槽内の水の量 $y$ （リットル）の関係を表している。

(1) B管が最初に開いたのは、A管から水を入れ始めて何分後か。

(2) $a$, $b$ の値を求めよ。

(3) A管から水を入れ始めて20分たってから、その後再びB管が開くまで（水の量が再び80リットルになるまで）の間の $x$ と $y$ の関係式を求めよ。

(4) A管から水を入れ始めてから1時間の間に、B管は何回開くか。

2. 解き方の手順

(1)

グラフより、水槽内の水の量が80リットルになったのは、A管から水を入れ始めてから10分後である。

(2)

グラフの最初の10分間は、A管から水を入れているだけで、水の量が30リットルから80リットルに増えている。

したがって、この間に増えた水の量は $80 - 30 = 50$ リットルである。

A管から毎分 $a$ リットルずつ10分間水を入れたので、

$10a = 50$

$a = 5$

したがって、$a = 5$ である。

B管が開いてから、水の量が80リットルから60リットルに減るまでの時間はグラフより、$20 - 10 = 10$ 分である。

この間に減った水の量は $80 - 60 = 20$ リットルである。

この間、A管からは毎分5リットル水が入り、B管からは毎分6リットル水が出て行くので、毎分 $6-5=1$ リットル水が減る。

したがって、

$10(b-a) = 20$

$10(6-5) = 20$ は誤り。

毎分 $a$ リットル水を入れ、毎分6リットル排水しているので、毎分 $(6-a)$ リットル減る。

10分で20リットル減るので、

$10(6-a) = 20$ は間違い。これはA管の排水量を考慮していないから。

グラフから、水の量が80リットルから60リットルに減るのに10分かかっているので、この間B管が開いており毎分6リットルずつ排水している。A管からは毎分5リットルずつ水が入っているので、1分あたり $6-5=1$ リットルずつ減っている。したがって、10分で10リットル減る。

これは問題文の条件と矛盾する。

B管は水の量が80リットルになったら開いて毎分6リットル排水し、水の量が60リットルになったら閉じる。

80リットルから60リットルに減るのに10分かかるということは、A管から毎分 $a$ リットルで水を入れており、B管から毎分6リットルで排水しているので、

$10(6-a) = 20$

$6-a = 2$

$a=4$

したがって$a=4$

80リットルから60リットルまで20リットル減らすのに10分かかっているので、

1分あたり、$20/10=2$リットル減ることになる。

B管からは毎分6リットル出ているので、A管からは毎分4リットル入っていることになる。

A管から水を入れ始めてから10分後に80リットルになっている。

したがって、$10a+30=80$, $10a=50$, $a=5$

10分後から20分後までの10分間に20リットル減っているので、$10(6-a) = 20$。

$6-a=2$ より $a=4$

したがって、$a = 4$,$b=6$

(3)

A管から水を入れ始めて20分後、水の量は60リットルになっている。

その後、B管が閉じてA管からのみ水が入る。

再び水の量が80リットルになるまでの時間を $t$ 分とすると、

$4t = 80 - 60$

$4t = 20$

$t = 5$

したがって、20分後から5分後、つまり25分後に再びB管が開く。

$20 \le x \le 25$ のとき、$y = 4(x-20) + 60$

$y = 4x - 80 + 60$

$y = 4x - 20$

(4)

1時間 = 60分

A管から水を入れ始めてから10分後に80リットルになる。

10分後から20分後に60リットルになる。

20分後から25分後に80リットルになる。

25分後から30分後に60リットルになる。

30分後から35分後に80リットルになる。

35分後から40分後に60リットルになる。

40分後から45分後に80リットルになる。

45分後から50分後に60リットルになる。

50分後から55分後に80リットルになる。

55分後から60分後に60リットルになる。

B管が開くのは、10分後, 25分後, 30分後, 45分後, 50分後, 55分後

したがってB管は5回開く。

3. 最終的な答え

(1) 10分後

(2) $a = 4$

(3) $y = 4x - 20$

(4) 5回