家、学校、駅の位置関係と、Aさんが忘れ物を取りに行く際の2つのルート（PルートとQルート）における移動時間に関する問題です。Pルートは家から駅まで歩き、駅から学校、学校から家まで自転車で移動します。Qルートは家から学校、学校から駅まで歩き、駅から家まで自転車で移動します。Aさんの歩く速さと自転車の速さが与えられており、PルートとQルートの所要時間が等しいという条件から、駅から学校までの距離$x$ (km)と家から駅までの距離$y$ (km)の関係式を求め、最後に$x$と$y$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

家、学校、駅の位置関係と、Aさんが忘れ物を取りに行く際の2つのルート（PルートとQルート）における移動時間に関する問題です。Pルートは家から駅まで歩き、駅から学校、学校から家まで自転車で移動します。Qルートは家から学校、学校から駅まで歩き、駅から家まで自転車で移動します。Aさんの歩く速さと自転車の速さが与えられており、PルートとQルートの所要時間が等しいという条件から、駅から学校までの距離$x$ (km)と家から駅までの距離$y$ (km)の関係式を求め、最後に$x$と$y$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) Pルートにかかる時間について、$x$と$y$の関係式を整理します。

家から駅までは歩くので、かかる時間は$\frac{y}{4}$時間です。駅から学校までは自転車なので、かかる時間は$\frac{x}{12}$時間です。学校から家までは自転車なので、距離は$2x+y$になり、かかる時間は$\frac{2x+y}{12}$時間です。学校での滞在時間が15分なので、$\frac{15}{60}=\frac{1}{4}$時間です。

したがって、合計時間は$\frac{y}{4}+\frac{x}{12}+\frac{2x+y}{12}+\frac{1}{4}=1$時間です。

これを整理すると、$\frac{3y+x+2x+y}{12} = \frac{3}{4}$、すなわち、$3x+4y=9$

(2) Qルートにかかる時間について、$x$と$y$の関係式を整理します。

家から学校までは歩くので、かかる時間は$\frac{2x}{4}=\frac{x}{2}$時間です。学校から駅までは歩くので、かかる時間は$\frac{x}{4}$時間です。駅から家までは自転車なので、かかる時間は$\frac{y}{12}$時間です。学校での滞在時間が5分なので、$\frac{5}{60}=\frac{1}{12}$時間です。

したがって、合計時間は$\frac{x}{2}+\frac{x}{4}+\frac{y}{12}+\frac{1}{12}=1$時間です。

これを整理すると、$\frac{6x+3x+y}{12} = \frac{11}{12}$、すなわち、$9x+y=11$

(3) (1)と(2)から、$x$と$y$の値を求めます。

(1)から、$3x+4y=9$

(2)から、$9x+y=11$ よって、$y=11-9x$

これを(1)に代入すると、$3x+4(11-9x)=9$、$3x+44-36x=9$、$-33x=-35$、よって、$x=\frac{35}{33}$

$y=11-9\times \frac{35}{33} = 11 - \frac{3 \times 35}{11} = \frac{121-105}{11} = \frac{16}{11}$

3. 最終的な答え

(1) $3x+4y = 9$　ア：9

(2) $9x+y = 11$　イ：9　ウエ：11

(3) 駅から学校までの道のりは$\frac{35}{33}$km, 家から駅までの道のりは$\frac{16}{11}$km

オ：35/33

カ：16/11