弦の振動に関する問題です。 (1) 弦を伝わる波の速さ $v$ を求めます。 (2) おもりの質量を4倍にしたとき、定常波の腹の数がいくつになるかを求めます。 (3) おもりの質量を5倍にしたとき、弦に生じる波がどうなるか選択肢から選びます。 (4) 装置Bの弦をはじいたときの振動数 $f$ が、装置Aのおんさの振動数 $f_0$ の何倍かを求めます。 (5) 装置Cの弦の長さが $L_C$ ($L_C > L$)のとき、2つの装置B,Cの弦を同時にはじいたところ、1秒間に $n$ 回のうなりが生じた。装置Cの弦をはじいたときに発生する音の振動数 $f_C$ を $f$ と $n$ を用いて表します。 (6) 装置Cの弦の長さを $a$ だけ短くして、2つの装置の弦を同時にはじくと、やはり1秒間に $n$ 回のうなりが生じた。$a$ を $L$ と $L_C$ を用いて表します。

1. 問題の内容

弦の振動に関する問題です。

(1) 弦を伝わる波の速さ $v$ を求めます。

(2) おもりの質量を4倍にしたとき、定常波の腹の数がいくつになるかを求めます。

(3) おもりの質量を5倍にしたとき、弦に生じる波がどうなるか選択肢から選びます。

(4) 装置Bの弦をはじいたときの振動数 $f$ が、装置Aのおんさの振動数 $f_0$ の何倍かを求めます。

(5) 装置Cの弦の長さが $L_C$ ($L_C > L$)のとき、2つの装置B,Cの弦を同時にはじいたところ、1秒間に $n$ 回のうなりが生じた。装置Cの弦をはじいたときに発生する音の振動数 $f_C$ を $f$ と $n$ を用いて表します。

(6) 装置Cの弦の長さを $a$ だけ短くして、2つの装置の弦を同時にはじくと、やはり1秒間に $n$ 回のうなりが生じた。$a$ を $L$ と $L_C$ を用いて表します。

2. 解き方の手順

(1)

弦の長さを $L$ とすると、腹が4つの定常波が生じているので、$L = 4 \times \frac{\lambda}{2}$ 、つまり $\lambda = \frac{L}{2}$ です。

振動数は $f_0$ なので、波の速さ $v$ は $v = f_0 \lambda = f_0 \frac{L}{2}$ となります。

(2)

弦の張力 $S$ はおもりの重力に比例します。おもりの質量が4倍になると、張力も4倍になります。

波の速さ $v$ は $v = \sqrt{\frac{S}{\rho}}$ で与えられるので、張力が4倍になると波の速さは2倍になります。

$v' = 2v = 2 \times f_0 \frac{L}{2} = f_0 L$

振動数 $f_0$ は変わらないので、波長 $\lambda'$ は $\lambda' = \frac{v'}{f_0} = \frac{f_0 L}{f_0} = L$ となります。

弦の長さ $L$ は変わらないので、腹の数 $n'$ は $L = n' \frac{\lambda'}{2}$ を満たします。

$L = n' \frac{L}{2}$ より、$n' = 2$ となります。

(3)

おもりの質量を5倍にすると、張力も5倍になります。

波の速さ $v$ は $v = \sqrt{\frac{S}{\rho}}$ で与えられるので、張力が5倍になると波の速さは$\sqrt{5}$倍になります。

振動数 $f_0$ は変わらないので、波長 $\lambda$ は $\lambda = \frac{v}{f_0}$ となり、$\sqrt{5}$倍になります。

したがって、腹の数は $L = n \frac{\lambda}{2}$ で与えられ、波長が$\sqrt{5}$倍になると、腹の数も変化します。

前の問題では、腹の数が変化したので、選択肢は1,2,3のいずれかとなります。

腹の数が変わるので、定常波が生じないという選択肢4は誤りです。

$\lambda$が$\sqrt{5}$倍になると腹の数は $4 / \sqrt{5} \approx 1.79$ となり、整数値でないので、定常波は生じません。

よって、選択肢4が正しいです。

(4)

装置Bでは、弦の両端が固定されています。基本振動なので、弦の長さ $L$ は $\frac{\lambda}{2}$ に等しくなります。つまり、$\lambda = 2L$ です。

$v = \sqrt{\frac{S}{\rho}}$ であり、張力 $S$ はおもりの重力に等しいので、$S = mg$ (mは最初の質量)です。よって、$v = \sqrt{\frac{mg}{\rho}}$

装置Bの振動数 $f$ は $f = \frac{v}{\lambda} = \frac{\sqrt{\frac{mg}{\rho}}}{2L}$ となります。

装置Aでは、$v = \frac{f_0 L}{2} = \sqrt{\frac{S}{\rho}} = \sqrt{\frac{mg}{\rho}}$より、$\frac{f_0 L}{2} = \sqrt{\frac{mg}{\rho}}$。よって $f_0 = \frac{2}{L}\sqrt{\frac{mg}{\rho}}$

したがって、$\frac{f}{f_0} = \frac{\frac{\sqrt{\frac{mg}{\rho}}}{2L}}{\frac{2}{L}\sqrt{\frac{mg}{\rho}}} = \frac{1}{4}$

$f = \frac{1}{4} f_0$

(5)

装置Bの振動数は $f = \frac{1}{4}f_0$ 。装置Cの弦の長さが $L_C > L$ なので、装置Cの振動数 $f_C$ は装置Bの振動数 $f$ より小さくなります。

うなりが生じるのは、2つの振動数の差がうなりの回数に等しいからです。

$|f - f_C| = n$

$f_C < f$ なので、$f - f_C = n$

$f_C = f - n$

(6)

装置Cの弦の長さを $a$ だけ短くすると、振動数が大きくなり、$f_C'$とします。

$|f - f_C'| = n$

$f_C' > f$ なので、$f_C' - f = n$

$f_C' = f + n$

$f_C' = \frac{1}{2(L_C-a)} \sqrt{\frac{mg}{\rho}}$

$f_C = \frac{1}{2L_C} \sqrt{\frac{mg}{\rho}}$

$\frac{f_C'}{f_C} = \frac{L_C}{L_C - a}$

$f_C' = \frac{L_C}{L_C - a} f_C$

$f + n = \frac{L_C}{L_C - a} (f - n)$

$(f + n)(L_C - a) = L_C (f - n)$

$fL_C - af + nL_C - an = fL_C - nL_C$

$-af - an = -2nL_C$

$a(f + n) = 2nL_C$

$a = \frac{2nL_C}{f+n}$

ここで、$f = \frac{1}{4} f_0 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{mg}{\rho}}$ なので、

$a = \frac{2nL_C}{\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{mg}{\rho}} + n}$

$f = \frac{1}{4} f_0$ であり、$f_0 = \frac{2}{L}\sqrt{\frac{mg}{\rho}}$ より、

$a = \frac{2n L_C}{f+n} = \frac{2n L_C}{\frac{1}{4}f_0 + n}$

$a = \frac{2n L_C}{\frac{1}{4}\frac{2}{L} \sqrt{\frac{mg}{\rho}} + n}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{f_0 L}{2}$

(2) 2

(3) ④ 定常波は生じない

(4) $\frac{1}{4}$

(5) $f - n$

(6) $\frac{2n L_C}{f+n}$