宮崎西大学の大学祭で焼きそばの屋台を出すことを想定した問題です。 (1) 朝陽祭で焼きそばを売る際の儲け $A$ を、焼きそばの値段 $p$ の関数として表し、そのグラフの概形を求める。ここで、販売個数 $q$ は $q = 500 - p$、諸経費 $c$ は $c = 100q$ であり、$100 \le p \le 500$ である。 (2) (1)で求めた儲け $A$ の最大値と、そのときの焼きそばの値段 $p$ を求める。 (3) 合格祭で焼きそばを売る際の儲け $Y$ を最大にする焼きそばの値段 $p$ と、そのときの儲け $Y$ を求める。販売個数 $q$ は $q = 1200 - 2p$ であり、諸経費 $c$ は $0 \le q \le 200$ のとき $c = 100q$、$q > 200$ のとき $c = \frac{1}{2}q^2 - 100q + 20000$ である。$100 \le p \le 500$ である。 (4) 朝陽祭と合格祭の両方に出店する場合、焼きそばの値段を同じにしなければならないという条件のもとで、儲けの合計を最大にする焼きそばの値段 $p$ を求め、そのときの儲けが、異なる値段をつけて構わない場合と比べてどれだけ減少するかを求める。

1. 問題の内容

宮崎西大学の大学祭で焼きそばの屋台を出すことを想定した問題です。

(1) 朝陽祭で焼きそばを売る際の儲け $A$ を、焼きそばの値段 $p$ の関数として表し、そのグラフの概形を求める。ここで、販売個数 $q$ は $q = 500 - p$、諸経費 $c$ は $c = 100q$ であり、$100 \le p \le 500$ である。

(2) (1)で求めた儲け $A$ の最大値と、そのときの焼きそばの値段 $p$ を求める。

(3) 合格祭で焼きそばを売る際の儲け $Y$ を最大にする焼きそばの値段 $p$ と、そのときの儲け $Y$ を求める。販売個数 $q$ は $q = 1200 - 2p$ であり、諸経費 $c$ は $0 \le q \le 200$ のとき $c = 100q$、$q > 200$ のとき $c = \frac{1}{2}q^2 - 100q + 20000$ である。$100 \le p \le 500$ である。

(4) 朝陽祭と合格祭の両方に出店する場合、焼きそばの値段を同じにしなければならないという条件のもとで、儲けの合計を最大にする焼きそばの値段 $p$ を求め、そのときの儲けが、異なる値段をつけて構わない場合と比べてどれだけ減少するかを求める。

2. 解き方の手順

(1)

儲け $A$ は、

$A = pq - c = p(500-p) - 100(500-p) = 500p - p^2 - 50000 + 100p = -p^2 + 600p - 50000$

$A = -(p^2 - 600p) - 50000 = -(p^2 - 600p + 300^2 - 300^2) - 50000 = -(p-300)^2 + 90000 - 50000 = -(p-300)^2 + 40000$

$A = -(p-300)^2 + 40000$

$A$ は上に凸の二次関数であり、頂点は $(300, 40000)$ である。定義域は $100 \le p \le 500$ である。

(2)

(1)で求めた $A$ は $p=300$ の時に最大値 $40000$ をとる。

したがって、儲け $A$ の最大値は 40000円であり、そのとき焼きそば1人前を 300円で売ればよい。

(3)

儲け $Y$ は $Y = pq - c = p(1200 - 2p) - c = 1200p - 2p^2 - c$

$q = 1200 - 2p$

$0 \le q \le 200$ のとき $0 \le 1200 - 2p \le 200$ より $500 \le p \le 600$

$q > 200$ のとき $1200 - 2p > 200$ より $p < 500$

$c = 100q = 100(1200 - 2p) = 120000 - 200p$ ( $500 \le p \le 600$ )

$c = \frac{1}{2}q^2 - 100q + 20000 = \frac{1}{2}(1200-2p)^2 - 100(1200-2p) + 20000$ ( $p < 500$ )

$= \frac{1}{2}(1440000 - 4800p + 4p^2) - 120000 + 200p + 20000 = 2p^2 - 2200p + 620000$

$Y = 1200p - 2p^2 - (120000 - 200p) = -2p^2 + 1400p - 120000$ ( $500 \le p \le 500$ )

$Y = 1200p - 2p^2 - (2p^2 - 2200p + 620000) = -4p^2 + 3400p - 620000$ ( $100 \le p < 500$ )

$500 \le p \le 600$ のとき

$Y = -2(p^2 - 700p) - 120000 = -2(p - 350)^2 + 245000 - 120000 = -2(p - 350)^2 + 125000$

$500 \le p \le 600$ において、$p=500$ の時、$Y = -2(500 - 350)^2 + 125000 = -2(150^2) + 125000 = -45000 + 125000 = 80000$

$100 \le p < 500$ のとき

$Y = -4p^2 + 3400p - 620000 = -4(p^2 - 850p) - 620000 = -4(p - 425)^2 + 4(425^2) - 620000 = -4(p - 425)^2 + 722500 - 620000 = -4(p - 425)^2 + 102500$

頂点は $(425, 102500)$

$p=425$ は $100 \le p < 500$ を満たすので $p=425$ のとき最大値 $Y=102500$ をとる。

したがって、合格祭での儲け $Y$ を最大にするには、焼きそば1人前を 425円とすればよい。また、そのときの儲け $Y$ は 102500円となる。

3. 最終的な答え

(1) $A = -(p-300)^2 + 40000$ (グラフは省略)

(2) 儲けの最大値: 40000円、焼きそばの値段: 300円

(3) 焼きそばの値段: 425円、儲け: 102500円