両端を固定した弦A, Bについて、振動数や波長、速さ、うなりに関する問題。

1. 問題の内容

両端を固定した弦A, Bについて、振動数や波長、速さ、うなりに関する問題。

2. 解き方の手順

ア：定常波の腹がn個あるとき、波長$\lambda$は弦の長さLを用いて、$L = n \frac{\lambda}{2}$と表せる。したがって、$\lambda = \frac{2L}{n}$。

イ：弦を伝わる波の速さ$v$は、弦を引く張力$T$の平方根に比例し、$v = \sqrt{\frac{T}{\rho}}$（$\rho$は線密度）。また、振動数$f$と波長$\lambda$を用いて、$v = f \lambda$と表せる。したがって、$v = f \lambda = f \frac{2L}{n} = \frac{2fL}{n}$。

ウ：基本振動のとき、$n=1$なので、基本振動数は$\frac{v}{\lambda} = \frac{v}{2L}$。イより、$v = \frac{2fL}{n}$なので、基本振動数は$\frac{f}{n}$。

エ：4倍振動と異なる固有振動が生じたということは、4倍振動から5倍振動になったと考えられる。4倍振動の波長は$\frac{2L}{4} = \frac{L}{2}$であり、5倍振動の波長は$\frac{2L}{5}$である。したがって、三角柱が移動した距離は、それぞれの波長の半分である$\frac{L}{4} - \frac{L}{5} = \frac{L}{20}$。

オ：おもりを1個増やして2個にすると、張力が2倍になる。したがって、速さは$\sqrt{2}$倍になる。長さが0になるまでというのは、三角柱が振動子に接触するまでなので、振動部分の長さがLから0になるまで、基本振動の振動数が常に存在し続ける回数を考える。振動数が増加していく過程で、固有振動の次数が1つずつ上がっていく。最初に三角柱をPに置いた状態での基本振動数を$f_1$、おもりを2個にした状態での基本振動数を$f_2$とする。$f_2 = \sqrt{2} f_1$。固有振動は$f_1$から$f_2$までの間で何回起こるかを考える。 $f_2 = \sqrt{2} f_1 \approx 1.41 f_1$ なので、$n f_1 < 1.41 f_1$を満たす最大の整数nは1となる.その後も同様におもりの質量を1つずつ増やして同様に考えると、$f_1$から$f_2$までの変化の中で基本振動しか生じない.したがって、三角柱を動かすたびに固有振動は必ず発生するので、オ回数は無限大に発散する。ただし、問題文から判断するに、振動の次数が整数でカウントされることが前提のようである。張力が増加するにつれて、基本振動数が高くなり、その間に整数倍の固有振動数が通過する回数を数える。おもりの質量が連続的に変化すると考えると、固有振動は無限に発生する。ただし、整数倍の振動数のみをカウントするという条件を考慮すると、振動部分の長さが0になるまでに無限回固有振動が発生するとは言えない。ただし、問題文の意図を汲み、固有振動は必ず発生するという理解で解釈するならば、振動部分が0になるまでは無限回振動が発生することになる。

カ：おもりの数を増やしていくと、弦が切れやすくなる。弦が切れる直前までおもりを増やせば、それまでは固有振動が生じる。

キ：弦Aの振動数を$f_A$、弦Bの振動数を$f_B$とする。うなりの周期が$T$であることから、$|f_A - f_B| = \frac{1}{T}$。弦Bの基本振動の振動数は、$f_B = f_A \pm \frac{1}{T}$。

3. 最終的な答え

ア: $\frac{2L}{n}$

イ: $\frac{2fL}{n}$

ウ: $\frac{f}{n}$

エ: $\frac{L}{20}$

オ: 無限大

カ: 無限大

キ: $f_A \pm \frac{1}{T}$