水平面となす角が$\theta$の粗い斜面上に質量$m$の物体を置いたところ、物体は斜面を下った。物体と斜面の静止摩擦係数を$\mu_s$, 動摩擦係数を$\mu$, 重力加速度の大きさを$g$とする。以下の問いに答えよ。 (1) 物体にはたらく力を図示せよ。 (2) 物体が斜面から受ける垂直抗力の大きさと、物体の加速度の大きさをそれぞれ求めよ。 (3) 物体を静かに離してから、斜面上を$l$だけ下るのにかかった時間と、そのときの物体の速さを求めよ。

1. 問題の内容

水平面となす角が$\theta$の粗い斜面上に質量$m$の物体を置いたところ、物体は斜面を下った。物体と斜面の静止摩擦係数を$\mu_s$, 動摩擦係数を$\mu$, 重力加速度の大きさを$g$とする。以下の問いに答えよ。

(1) 物体にはたらく力を図示せよ。

(2) 物体が斜面から受ける垂直抗力の大きさと、物体の加速度の大きさをそれぞれ求めよ。

(3) 物体を静かに離してから、斜面上を$l$だけ下るのにかかった時間と、そのときの物体の速さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 物体にはたらく力は、重力、垂直抗力、動摩擦力である。

- 重力: 鉛直下向きに$mg$

- 垂直抗力: 斜面に垂直上向きに$N$

- 動摩擦力: 斜面上向きに$f$

(2) 斜面に沿って下向きを正とする$x$軸と、斜面に垂直上向きを正とする$y$軸を設定する。

- $y$方向の力のつり合いの式を立てる。

- $x$方向の運動方程式を立てる。

- 動摩擦力$f$を垂直抗力$N$と動摩擦係数$\mu$を用いて表す。

- 加速度$a$を求める。

$y$方向の力のつり合いより、

$N - mg \cos\theta = 0$

よって、垂直抗力は

$N = mg \cos\theta$

$x$方向の運動方程式は、

$ma = mg \sin\theta - f$

動摩擦力は、

$f = \mu N = \mu mg \cos\theta$

したがって、

$ma = mg \sin\theta - \mu mg \cos\theta$

$a = g(\sin\theta - \mu \cos\theta)$

(3) 等加速度直線運動の公式を用いる。初速度$v_0 = 0$, 加速度$a = g(\sin\theta - \mu \cos\theta)$, 移動距離$l$である。

- $x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$より、時間を求める。

- $v = v_0 + at$より、速さを求める。

$l = 0 \cdot t + \frac{1}{2} g(\sin\theta - \mu \cos\theta) t^2$

$t^2 = \frac{2l}{g(\sin\theta - \mu \cos\theta)}$

$t = \sqrt{\frac{2l}{g(\sin\theta - \mu \cos\theta)}}$

$v = 0 + g(\sin\theta - \mu \cos\theta) t$

$v = g(\sin\theta - \mu \cos\theta) \sqrt{\frac{2l}{g(\sin\theta - \mu \cos\theta)}}$

$v = \sqrt{2lg(\sin\theta - \mu \cos\theta)}$

3. 最終的な答え

(1) 解答略 (図示)

(2) 垂直抗力の大きさ: $mg\cos\theta$

加速度の大きさ: $g(\sin\theta - \mu\cos\theta)$

(3) 時間: $\sqrt{\frac{2l}{g(\sin\theta - \mu\cos\theta)}}$

速さ: $\sqrt{2lg(\sin\theta - \mu\cos\theta)}$