定滑車に糸をかけ、その両端に質量$M$と$m$ [kg]の物体A, Bをつるす。Bは地上にあり、Aは上空にある。糸や滑車の質量を無視し、$M > m$、重力加速度の大きさを$g$ [m/s$^2$]とする。物体Aを静かに離したとき、 (1) 物体A, Bにはたらく力を図示する。 (2) Aの加速度の大きさと、Aをつるしている糸の張力の大きさを求める。

1. 問題の内容

定滑車に糸をかけ、その両端に質量$M$と$m$ [kg]の物体A, Bをつるす。Bは地上にあり、Aは上空にある。糸や滑車の質量を無視し、$M > m$、重力加速度の大きさを$g$ [m/s$^2$]とする。物体Aを静かに離したとき、

(1) 物体A, Bにはたらく力を図示する。

(2) Aの加速度の大きさと、Aをつるしている糸の張力の大きさを求める。

2. 解き方の手順

(1) 物体A, Bにはたらく力を図示する。

* 物体Aには、下向きに重力$Mg$、上向きに糸の張力$T$がはたらく。

* 物体Bには、下向きに重力$mg$、上向きに糸の張力$T$、そして地面から垂直抗力$N$がはたらく。

(2) Aの加速度の大きさと、Aをつるしている糸の張力の大きさを求める。

Aの加速度の大きさを$a$とする。Aは下向きに運動すると仮定すると、Bは静止したままなので、$a = 0$となる。

Aについての運動方程式は、下向きを正として、

$Ma = Mg - T$

Bについての力の釣り合いの式は、上向きを正として、

$T + N = mg$

$N \ge 0$なので、$T \le mg$

もしAが動き出すとすると、Bは地面から離れることはなく静止したままであるから、Bの加速度は0である。したがって、$T=mg$となる。

したがって、Aの運動方程式は、

$Ma = Mg - mg$

$a = g - (m/M) g = (1 - m/M)g$

$T=mg$

もしAが静止しているなら、

$Mg = T = mg$

これは$M > m$に矛盾する。

物体Aが動き出す瞬間は、Bが地面を押す力が0になる瞬間である。よって、Bにはたらく力は重力$mg$と張力$T$のみになり、$T = mg$である。

このとき、物体Aの運動方程式は

$Ma = Mg - T$

$Ma = Mg - mg$

$a = (M - m)g / M$

$a = (1 - m/M) g$

3. 最終的な答え

Aの加速度の大きさ：$(1 - m/M)g$

Aをつるしている糸の張力の大きさ：$mg$