なめらかな水平面上にある質量 $M$ [kg] の物体Aと質量 $m$ [kg] の物体Bが軽い糸でつながれており、物体Bがさらに別の軽い糸で大きさ $F$ [N] の力で右に引かれている。このとき、物体A, Bは一体となって右に運動する。物体AとBの間をつなぐ糸の張力 $T$ [N] と、物体A, Bの加速度の大きさ $a$ [m/s$^2$] を求める。

1. 問題の内容

なめらかな水平面上にある質量 $M$ [kg] の物体Aと質量 $m$ [kg] の物体Bが軽い糸でつながれており、物体Bがさらに別の軽い糸で大きさ $F$ [N] の力で右に引かれている。このとき、物体A, Bは一体となって右に運動する。物体AとBの間をつなぐ糸の張力 $T$ [N] と、物体A, Bの加速度の大きさ $a$ [m/s$^2$] を求める。

2. 解き方の手順

(1) 物体Aと物体Bを一体とみなして運動方程式を立てる。一体化した物体の質量は $M + m$ [kg] であり、働く力は $F$ [N] である。右向きを正とすると、運動方程式は

$$(M + m)a = F$$

となる。したがって、加速度 $a$ は

$$a = \frac{F}{M + m}$$

と求まる。

(2) 物体Aに着目して運動方程式を立てる。物体Aには、糸の張力 $T$ が右向きに働いている。したがって、運動方程式は

$$Ma = T$$

となる。(1)で求めた加速度 $a$ を代入すると、

$$T = Ma = M \left( \frac{F}{M + m} \right) = \frac{MF}{M + m}$$

となる。

3. 最終的な答え

物体A, Bをつなぐ糸の張力の大きさ $T$ は

$$T = \frac{MF}{M + m}$$

物体A, Bの加速度の大きさ $a$ は

$$a = \frac{F}{M + m}$$