質量 $m = 1.0 \text{ kg}$ の物体が机の上に置かれており、ばね定数 $k = 4.9 \times 10^2 \text{ N/m}$、自然長 $l_0 = 0.100 \text{ m}$ のばねが取り付けられている。重力加速度の大きさは $g = 9.8 \text{ m/s}^2$ である。 (1) ばねを鉛直上向きに引き、ばねの長さが $l = 0.110 \text{ m}$ としたとき、物体がばねから受ける力の大きさを求める。 (2) (1)と同様に、ばねの長さが $l = 0.110 \text{ m}$ のとき、物体が机から受ける垂直抗力の大きさを求める。 (3) ばねを引く力をさらに大きくしていくと、物体が机からはなれる。そのときのばねの長さを求める。

1. 問題の内容

質量 $m = 1.0 \text{ kg}$ の物体が机の上に置かれており、ばね定数 $k = 4.9 \times 10^2 \text{ N/m}$、自然長 $l_0 = 0.100 \text{ m}$ のばねが取り付けられている。重力加速度の大きさは $g = 9.8 \text{ m/s}^2$ である。

(1) ばねを鉛直上向きに引き、ばねの長さが $l = 0.110 \text{ m}$ としたとき、物体がばねから受ける力の大きさを求める。

(2) (1)と同様に、ばねの長さが $l = 0.110 \text{ m}$ のとき、物体が机から受ける垂直抗力の大きさを求める。

(3) ばねを引く力をさらに大きくしていくと、物体が机からはなれる。そのときのばねの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 物体がばねから受ける力は、ばねの弾性力である。ばねの伸び $x$ は $x = l - l_0$ で与えられる。弾性力の大きさ $F$ は $F = kx$ で計算できる。

ばねの伸び $x = 0.110 \text{ m} - 0.100 \text{ m} = 0.010 \text{ m}$

弾性力の大きさ $F = (4.9 \times 10^2 \text{ N/m}) \times (0.010 \text{ m}) = 4.9 \text{ N}$

(2) 物体には、重力 $mg$、ばねの弾性力 $F$、垂直抗力 $N$ が働いている。鉛直上向きを正とすると、力の釣り合いは $N + F - mg = 0$ となる。したがって、垂直抗力は $N = mg - F$ で計算できる。

$mg = (1.0 \text{ kg}) \times (9.8 \text{ m/s}^2) = 9.8 \text{ N}$

$N = 9.8 \text{ N} - 4.9 \text{ N} = 4.9 \text{ N}$

(3) 物体が机からはなれる瞬間、垂直抗力は0になる。したがって、そのとき、力の釣り合いは $F - mg = 0$ となる。つまり、$F = mg$ である。

$F = kx = mg$ なので、$x = \frac{mg}{k}$ で計算できる。

$x = \frac{9.8 \text{ N}}{4.9 \times 10^2 \text{ N/m}} = 0.02 \text{ m}$

ばねの長さ $l$ は $l = l_0 + x$ で与えられるので、

$l = 0.100 \text{ m} + 0.02 \text{ m} = 0.12 \text{ m}$

3. 最終的な答え

(1) 4.9 N

(2) 4.9 N

(3) 0.12 m