ある通信会社の携帯電話の料金プランに関する問題です。花子さんと太郎さんがそれぞれプランAとプランBを利用している状態で、利用料金に関する条件が与えられています。その後、花子さんがプランCに変更した場合について、新たな条件が与えられ、それらの条件を満たす通話時間 $x$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

ある通信会社の携帯電話の料金プランに関する問題です。花子さんと太郎さんがそれぞれプランAとプランBを利用している状態で、利用料金に関する条件が与えられています。その後、花子さんがプランCに変更した場合について、新たな条件が与えられ、それらの条件を満たす通話時間 $x$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 花子さんの1か月の利用料金 $P$ が7000円となるような $x$ の値を求めます。

花子さんはプランAを利用しています。$x$ が100以上の自然数であることに注意します。

まず、$x \le 240$ のとき、利用料金は6000円となり、7000円になりません。

$x > 240$ のとき、利用料金は $6000 + 10(x - 240)$ 円となります。

したがって、$6000 + 10(x - 240) = 7000$ を解きます。

$10(x - 240) = 1000$

$x - 240 = 100$

$x = 340$

(2) 花子さんと太郎さんの1か月の利用料金の差 $|P - Q|$ が1200円となるような $x$ の値を求めます。

花子さんはプランA、太郎さんはプランBを利用しています。

$x \le 240$ のとき、花子さんの利用料金 $P$ は6000円です。

太郎さんの利用料金 $Q$ は $500 + 20x$ 円です。

$|P - Q| = |6000 - (500 + 20x)| = |5500 - 20x| = 1200$ を解きます。

$5500 - 20x = 1200$ または $5500 - 20x = -1200$

$20x = 4300$ または $20x = 6700$

$x = 215$ または $x = 335$

$x > 240$ のとき、花子さんの利用料金 $P$ は $6000 + 10(x - 240)$ 円です。

太郎さんの利用料金 $Q$ は $500 + 20x$ 円です。

$|P - Q| = |6000 + 10(x - 240) - (500 + 20x)| = |6000 + 10x - 2400 - 500 - 20x| = |3100 - 10x| = 1200$ を解きます。

$3100 - 10x = 1200$ または $3100 - 10x = -1200$

$10x = 1900$ または $10x = 4300$

$x = 190$ または $x = 430$

$x > 240$ の条件より、$x = 430$ のみが該当します。

よって、$x = 215, 335, 430$

(3) 花子さんがプランCに変更し、太郎さんはプランBのまま利用します。

花子さんの利用料金を $P$、太郎さんの利用料金を $Q$ とします。

条件1: $|P - Q| \le 1200$

条件2: 花子さんの1か月の利用料金が、プランAを利用していたときの1か月の利用料金以下になる。

まず、条件1について考えます。

$Q = 500 + 20x$

$x \le 300$ のとき、$P = 5000 + 5(x - 100) = 5000 + 5x - 500 = 4500 + 5x$

$|P - Q| = |4500 + 5x - (500 + 20x)| = |4000 - 15x| \le 1200$

$-1200 \le 4000 - 15x \le 1200$

$-5200 \le -15x \le -2800$

$2800 \le 15x \le 5200$

$186.67 \le x \le 346.67$

$x$ は自然数なので、$187 \le x \le 346$

ここで、$x \le 300$ の条件と合わせると、$187 \le x \le 300$

$x > 300$ のとき、$P = 5000 + 5(300 - 100) + 15(x - 300) = 5000 + 1000 + 15x - 4500 = 1500 + 15x$

$|P - Q| = |1500 + 15x - (500 + 20x)| = |1000 - 5x| \le 1200$

$-1200 \le 1000 - 5x \le 1200$

$-2200 \le -5x \le 200$

$-200 \le 5x \le 2200$

$-40 \le x \le 440$

$x$ は自然数なので、$x \le 440$

ここで、$x > 300$ の条件と合わせると、$301 \le x \le 440$

したがって、条件1を満たす $x$ の範囲は、$187 \le x \le 440$

次に、条件2について考えます。

プランAを利用していたときの料金は、$x \le 240$ のとき 6000円、$x > 240$ のとき $6000 + 10(x - 240)$ 円です。

$x \le 300$ のとき、$P = 4500 + 5x$

$4500 + 5x \le 6000$ (プランAの料金が6000円以下)

$5x \le 1500$

$x \le 300$

これは $x \le 300$ の条件を満たしています。

$x > 300$ のとき、$P = 1500 + 15x$

$1500 + 15x \le 6000 + 10(x - 240)$ (プランAの料金以下)

$1500 + 15x \le 6000 + 10x - 2400$

$5x \le 2100$

$x \le 420$

よって、条件2を満たす $x$ の範囲は、$100 \le x \le 420$

条件1と条件2を両方満たす $x$ の範囲は、$187 \le x \le 420$

3. 最終的な答え

(1) $x = 340$

(2) $x = 215, 335, 430$

(3) 条件1を満たす $x$ の範囲: $187 \le x \le 440$

条件1と条件2を両方満たす $x$ の範囲: $187 \le x \le 420$