$(1+\frac{1}{6}x)^{99}$ を展開したときの $x^n$ の係数を $a_n = {}_{99}C_n (\frac{1}{6})^n$ とするとき、$\frac{a_m}{a_{m+1}} - 1$ を計算し、さらに $a_n$ が最大となる $n$ を求める。

1. 問題の内容

$(1+\frac{1}{6}x)^{99}$ を展開したときの $x^n$ の係数を $a_n = {}_{99}C_n (\frac{1}{6})^n$ とするとき、$\frac{a_m}{a_{m+1}} - 1$ を計算し、さらに $a_n$ が最大となる $n$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{a_m}{a_{m+1}}$ を計算する。

$\frac{a_m}{a_{m+1}} = \frac{{}_{99}C_m (\frac{1}{6})^m}{{}_{99}C_{m+1} (\frac{1}{6})^{m+1}} = \frac{{}_{99}C_m}{{}_{99}C_{m+1}} \cdot \frac{(\frac{1}{6})^m}{(\frac{1}{6})^{m+1}} = \frac{{}_{99}C_m}{{}_{99}C_{m+1}} \cdot 6$

ここで、${}_{99}C_m = \frac{99!}{m!(99-m)!}$ であるから、

$\frac{{}_{99}C_m}{{}_{99}C_{m+1}} = \frac{\frac{99!}{m!(99-m)!}}{\frac{99!}{(m+1)!(99-(m+1))!}} = \frac{(m+1)!(98-m)!}{m!(99-m)!} = \frac{(m+1)m!(98-m)!}{m!(99-m)(98-m)!} = \frac{m+1}{99-m}$

したがって、

$\frac{a_m}{a_{m+1}} = \frac{m+1}{99-m} \cdot 6 = \frac{6(m+1)}{99-m}$

$\frac{a_m}{a_{m+1}} - 1 = \frac{6(m+1)}{99-m} - 1 = \frac{6m+6-(99-m)}{99-m} = \frac{7m-93}{99-m}$

次に、$a_n$ が最大となる $n$ を求める。

$a_n$ が最大となるのは、$a_n > a_{n-1}$ かつ $a_n > a_{n+1}$ となる $n$ である。$a_n$ が最大となる条件は、$\frac{a_n}{a_{n+1}} > 1$ かつ $\frac{a_{n-1}}{a_{n}} < 1$ となる $n$ である。

$\frac{a_n}{a_{n+1}} > 1$ となる条件は、$\frac{6(n+1)}{99-n} > 1$ であるから、$6n+6 > 99-n$、すなわち $7n > 93$、$n > \frac{93}{7} \approx 13.28$ となる。

$\frac{a_{n-1}}{a_{n}} < 1$ となる条件は、$\frac{6n}{100-n} < 1$ であるから、$6n < 100-n$、すなわち $7n < 100$、$n < \frac{100}{7} \approx 14.28$ となる。

したがって、$13.28 < n < 14.28$ であるから、$n=14$ のとき、$a_n$ が最大となる。

3. 最終的な答え

$\frac{a_m}{a_{m+1}} - 1 = \frac{7m-93}{99-m}$

$n=14$